Номер 1239 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 168, а их наибольший общий делитель равен 24.

Краткое решение

Пусть $x$ и $y$ — искомые натуральные числа.

x + y = 168

$НОД (x, y) = 24$ , тогда:

x = 24 a, y = 24 b

24 a + 24 b = 168 / : 24

a + b = 7

1) $1 + 6 = 7 \Rightarrow x = 24 \cdot 1 = 24; y = 24 \cdot 6 = 144$

2) $2 + 5 = 7 \Rightarrow x = 24 \cdot 2 = 48; y = 24 \cdot 5 = 120$

3) $3 + 4 = 7 \Rightarrow x = 24 \cdot 3 = 72; y = 24 \cdot 4 = 96$

Ответ: 24 и 144, 48 и 120, 72 и 96.

Если наибольший общий делитель двух чисел равен $k$ , то эти числа можно представить в виде $ka$ и $kb$ , где $a$ и $b$ — взаимно простые числа.

Чтобы найти искомые числа, воспользуемся определением наибольшего общего делителя и условием суммы.

Пусть искомые натуральные числа — $x$ и $y$ . Так как их НОД равен 24, каждое из них делится на 24 без остатка. Запишем их в виде:

x = 24 a, y = 24 b

Здесь $a$ и $b$ — натуральные взаимно простые числа.

По условию сумма чисел равна 168:

24 a + 24 b = 168

Разделим обе части уравнения на общий множитель 24:

a + b = 7

Найдем все пары натуральных чисел $a$ и $b$ , сумма которых равна 7:

Остальные варианты ( $a = 4, a = 5, a = 6$ ) дадут те же пары чисел.