Номер 1229 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Упростите выражение:

(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) .

Краткое решение

$2 - 1 = 1$ , поэтому произведение не изменится.

(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) =

= (2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) =

= (2^{2} - 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) =

= (2^{4} - 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) =

= (2^{8} - 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) =

= (2^{16} - 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) =

= (2^{32} - 1) (2^{32} + 1) =

= 2^{64} - 1.

Подробное решение

📚 Теория: Разность квадратов

Для упрощения подобных произведений используется формула разности квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Искусственный прием умножения на $(2 - 1)$ позволяет запустить цепочку преобразований, так как результат каждой операции образует новую разность квадратов со следующим множителем.

Для упрощения данного произведения воспользуемся методом искусственного введения множителя.

1. Введение дополнительного множителя

Заметим, что $2 - 1 = 1$ . Поскольку умножение на 1 не меняет значения выражения, мы можем добавить этот множитель в начало цепочки:

(2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1)

2. Цепная реакция преобразований

Применяем формулу разности квадратов последовательно:

$(2 - 1) (2 + 1) = 2^{2} - 1$
$(2^{2} - 1) (2^{2} + 1) = 2^{4} - 1$
$(2^{4} - 1) (2^{4} + 1) = 2^{8} - 1$
$(2^{8} - 1) (2^{8} + 1) = 2^{16} - 1$
$(2^{16} - 1) (2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$
$(2^{32} - 1) (2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$

Итоговый результат: $2^{64} - 1$ .

💡 Похожие задачи

Номер 1230