Номер 1234 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

При каких значениях $a, b, c$ и $d$ является тождеством равенство

5 x^{3} - 32 x^{2} + 75 x - 71 = a (x - 2)^{3} + b (x - 2)^{2} + c (x - 2) + d ?

Краткое решение

Раскроем скобки в правой части выражения:

a (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) + b (x^{2} - 4 x + 4) + c x - 2 c + d =

= a x^{3} - 6 a x^{2} + 12 a x - 8 a + b x^{2} - 4 b x + 4 b + c x - 2 c + d =

= a x^{3} + (- 6 a + b) x^{2} + (12 a - 4 b + c) x + (- 8 a + 4 b - 2 c + d)

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях $x$ :

$a = 5$
$- 6 a + b = - 32 \Rightarrow - 6 \cdot 5 + b = - 32 \Rightarrow b = - 2$
$12 a - 4 b + c = 75 \Rightarrow 12 \cdot 5 - 4 \cdot (- 2) + c = 75 \Rightarrow c = 7$
$- 8 a + 4 b - 2 c + d = - 71 \Rightarrow - 40 - 8 - 14 + d = - 71 \Rightarrow d = - 9$

Ответ: a = 5, b = -2, c = 7, d = -9.

Подробное решение

📚 Теория: Метод неопределенных коэффициентов

Для нахождения параметров тождества можно раскрыть все скобки и привести подобные слагаемые. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной.

Для нахождения коэффициентов $a, b, c, d$ воспользуемся методом раскрытия скобок и последующим сравнением коэффициентов при степенях переменной $x$ .

1. Преобразование правой части

Применим формулы сокращенного умножения для куба и квадрата разности:

a (x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 - 8) + b (x^{2} - 4 x + 4) + c (x - 2) + d

Раскроем все скобки:

a x^{3} - 6 a x^{2} + 12 a x - 8 a + b x^{2} - 4 b x + 4 b + c x - 2 c + d

2. Группировка по степеням x

Соберем коэффициенты при $x^{3}, x^{2}, x^{1}$ и свободный член:

a x^{3} + (- 6 a + b) x^{2} + (12 a - 4 b + c) x + (- 8 a + 4 b - 2 c + d)

3. Составление и решение системы

Сравним с коэффициентами исходного многочлена $5 x^{3} - 32 x^{2} + 75 x - 71$ :

При $x^{3}$ : $a = 5$ .
При $x^{2}$ : $- 6 a + b = - 32 \Rightarrow - 30 + b = - 32 \Rightarrow b = - 2$ .
При $x$ : $12 a - 4 b + c = 75 \Rightarrow 60 + 8 + c = 75 \Rightarrow c = 7$ .
Свободный член: $- 8 a + 4 b - 2 c + d = - 71 \Rightarrow - 40 - 8 - 14 + d = - 71 \Rightarrow d = - 9$ .

Таким образом, мы нашли все искомые коэффициенты.

💡 Похожие задачи

Номер 1233