Номер 1232 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что если $y$ есть среднее арифметическое $x$ и $z$ , то

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - 4 x^{2} y^{2} + 4 y^{2} z^{2} = 0.

Краткое решение

По условию $y = \frac{x + z}{2}$ . Подставим $y$ в левую часть уравнения:

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - 4 x^{2} (\frac{x + z}{2})^{2} + 4 (\frac{x + z}{2})^{2} z^{2} = 0

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - 4 x^{2} \frac{( x + z ) ^{2}}{4} + 4 \cdot \frac{( x + z ) ^{2}}{4} z^{2} = 0

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - x^{2} (x + z)^{2} + (x + z)^{2} z^{2} = 0

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - x^{2} (x^{2} + 2 x z + z^{2}) + (x^{2} + 2 x z + z^{2}) z^{2} = 0

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - x^{4} - 2 x^{3} z - x^{2} z^{2} + x^{2} z^{2} + 2 x z^{3} + z^{4} = 0

Сгруппируем и сократим противоположные слагаемые:

(x^{4} - x^{4}) + (2 x^{3} z - 2 x^{3} z) + (2 x z^{3} - 2 x z^{3}) + (z^{4} - z^{4}) + (x^{2} z^{2} - x^{2} z^{2}) = 0

0 = 0

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство тождеств

Один из основных методов доказательства тождества с условием — это метод прямой подстановки выраженного значения одной переменной в основное уравнение.

Среднее арифметическое $x$ и $z$ определяется как $y = (x + z) /2$ . Подстановка этого значения позволяет свести всё выражение к переменным $x$ и $z$ для последующего сокращения.

Проведем подробное доказательство, используя алгебраические преобразования и подстановку среднего арифметического.

1. Использование условия задачи

По определению среднего арифметического:

y = \frac{x + z}{2}

2. Подстановка и упрощение

Подставим выражение для $y$ в члены тождества, содержащие эту переменную:

4 x^{2} y^{2} = 4 x^{2} (\frac{x + z}{2})^{2} = 4 x^{2} \frac{( x + z ) ^{2}}{4} = x^{2} (x + z)^{2}

4 y^{2} z^{2} = 4 z^{2} (\frac{x + z}{2})^{2} = 4 z^{2} \frac{( x + z ) ^{2}}{4} = z^{2} (x + z)^{2}

3. Раскрытие скобок и группировка

Запишем всю левую часть уравнения после подстановки:

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - x^{2} (x^{2} + 2 x z + z^{2}) + z^{2} (x^{2} + 2 x z + z^{2}) =

Распределим множители:

x^{4} + 2 x^{3} z - 2 x z^{3} - z^{4} - x^{4} - 2 x^{3} z - x^{2} z^{2} + x^{2} z^{2} + 2 x z^{3} + z^{4}

4. Финальное сокращение

Заметим, что все слагаемые взаимно уничтожаются:

$x^{4} - x^{4} = 0$
$2 x^{3} z - 2 x^{3} z = 0$
$- 2 x z^{3} + 2 x z^{3} = 0$
$- z^{4} + z^{4} = 0$
$- x^{2} z^{2} + x^{2} z^{2} = 0$

Левая часть равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

💡 Похожие задачи

Номер 1231