Номер 1242 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Задача Л. Н. Толстого. Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить два луга, из которых один был вдвое больше другого. Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую половину дня артель разделилась пополам, и одна половина осталась докашивать большой луг, а другая стала косить малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого остался участок, который был скошен на другой день одним косцом, работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?

Краткое решение

Обозначим через $x$ число косцов в артели, а через $y$ — площадь, которую один косец успевает скосить за полный день. За полдня один косец скосит $0,5y$ .

1) За первую половину дня вся артель скосила на большом лугу площадь: $x \cdot 0,5y = 0,5xy$ .

2) За вторую половину дня группа из $0,5x$ косцов докосила оставшееся: $0,5x \cdot 0,5y = 0,25xy$ .

3) Площадь большого луга: $0,5xy + 0,25xy = 0,75xy$ .

4) За ту же вторую половину дня вторая половина артели ( $0,5x$ ) скосила на малом лугу: $0,5 \cdot 0,5xy = 0,25xy$ .

5) Площадь малого луга: $y + 0,25xy$ .

6) Составим уравнение (большой луг в 2 раза больше малого):

0,75xy = 2(y + 0,25xy)

0,75xy = 2y + 0,5xy \Rightarrow 0,25xy = 2y

0,25x = 2 \Rightarrow x = 8

Ответ: в артели было 8 косцов.

Подробное решение

📚 Теория: Математическое моделирование

Для решения текстовых задач на работу важно ввести переменную для производительности. В данной задаче объем работы выражается через количество людей и доли рабочего дня.

Основное условие — соотношение площадей лугов (1:2), что позволяет составить линейное уравнение относительно количества работников.

Применим метод введения двух переменных для анализа производительности артели.

1. Анализ работы на большом лугу

Пусть в артели $x$ человек. Весь день (2 полдня) один человек косит площадь $y$ . Тогда за полдня он косит $0,5y$ .

В первую половину дня скошено: $x \cdot 0,5y = 0,5xy$ .
Во вторую половину дня половиной артели скошено: $0,5x \cdot 0,5y = 0,25xy$ .

Суммарная площадь большого луга: $0,5xy + 0,25xy = 0,75xy$ .

2. Анализ работы на малом лугу

На малом лугу во вторую половину дня работала вторая половина артели, скосив $0,25xy$ . На следующий день один косец докосил остаток, равный $y$ (площадь за полный рабочий день).

Суммарная площадь малого луга: $0,25xy + y$ .

3. Решение уравнения

Поскольку большой луг вдвое больше малого, составим тождество:

0,75xy = 2(0,25xy + y)

Раскрываем скобки:

0,75xy = 0,5xy + 2y

Переносим слагаемые с $xy$ в левую часть:

0,25xy = 2y

Разделив на $y$ (площадь не равна 0), получаем количество косцов:

x = 2 / 0,25 = 8