Номер 1243 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Из двух городов $A$ и $B$ , расстояние между которыми 180 км, в 6 ч 20 мин выехали навстречу друг другу автобус и легковой автомобиль. Их встреча произошла в 7 ч 50 мин. Если бы автобус выехал на 1 ч 15 мин раньше, а легковой автомобиль на 15 мин позже, то они встретились бы в 7 ч 35 мин. Какова скорость автобуса и легкового автомобиля?

Краткое решение

Пусть скорость автобуса равна $x$ км/ч, а легкового автомобиля — $y$ км/ч.

1) 7 ч 50 мин — 6 ч 20 мин = 1 ч 30 мин = 1,5 ч — были в пути машина и автобус в первом случае.

2) 6 ч 20 мин — 1 ч 15 мин = 5 ч 05 мин — время выезда автобуса во втором случае.

3) 7 ч 35 мин — 5 ч 05 мин = 2 ч 30 мин = 2,5 ч — был бы в пути автобус.

4) 6 ч 20 мин + 15 мин = 6 ч 35 мин — время выезда автомобиля во втором случае.

5) 7 ч 35 мин — 6 ч 35 мин = 1 ч — был бы в пути автомобиль.

6) Составим систему уравнений:

\begin{cases} 1,5x + 1,5y = 180 \quad / : (-1,5) \\ 2,5x + y = 180 \end{cases}

\begin{cases} -x - y = -120 \\ 2,5x + y = 180 \end{cases} \Rightarrow 1,5x = 60

x = \frac{60}{1,5} = \frac{600}{15} = 40

Подставим $x = 40$ :

2,5 \cdot 40 + y = 180 \Rightarrow 100 + y = 180 \Rightarrow y = 80

Ответ: скорость автобуса 40 км/ч, легкового автомобиля — 80 км/ч.

Подробное решение

📚 Теория: Решение задач на движение системами

Для решения задач, где рассматриваются два сценария движения, удобно вводить две переменные для скоростей объектов.

Помните: время движения рассчитывается как разность между временем встречи и временем выезда для каждого участника отдельно.

Проанализируем условия задачи и составим математическую модель.

1. Расчет времени для первого случая

Автобус и автомобиль выехали одновременно в 6:20 и встретились в 7:50. Время в пути для каждого:

t_1 = 7:50 - 6:20 = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1,5 \text{ ч.}

Их суммарный путь равен расстоянию между городами (180 км):

1,5x + 1,5y = 180

2. Расчет времени для второго случая

Новое время встречи — 7:35. Определим время в пути для каждого транспорта:

Автобус выехал в 5:05 (на 1:15 раньше): $t_a = 7:35 - 5:05 = 2,5 \text{ ч.}$
Автомобиль выехал в 6:35 (на 15 мин позже): $t_m = 7:35 - 6:35 = 1 \text{ ч.}$

Уравнение для этого случая:

2,5x + y = 180

3. Решение системы

Решим полученную систему методом сложения, предварительно разделив первое уравнение на (-1,5):

\begin{cases} -x - y = -120 \\ 2,5x + y = 180 \end{cases} \Rightarrow 1,5x = 60 \Rightarrow x = 40

Подставив $x$ в любое из уравнений, находим $y = 80$ .

Таким образом, скорость автобуса составила 40 км/ч, а легкового автомобиля — 80 км/ч.

💡 Похожие задачи

Номер 1244