Номер 220 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Объясните, почему равенство является тождеством:

а) $∣ x ∣ = ∣ - x ∣$ ;
б) $∣ x - y ∣ = ∣ y - x ∣$ ;
в) $∣2 c ∣ = 2∣ c ∣$ .

Краткое решение

а) $∣ x ∣ = ∣ - x ∣$ является тождеством, так как модули противоположных чисел равны.

$x = x$ — тождество.

б) $∣ x - y ∣ = ∣ y - x ∣$ является тождеством, так как $y - x = - (x - y)$ , значит, выражения $x - y$ и $- (x - y)$ противоположны, а модули противоположных выражений равны.

в) $∣2 c ∣ = 2∣ c ∣$ является тождеством, так как

при $c \geq 0$ :

$∣2 c ∣ = 2 c$ и $2∣ c ∣ = 2 c$ ;

при $c < 0$ :

$∣2 c ∣ = - 2 c$ и $2∣ c ∣ = 2 \cdot (- c) = - 2 c$ .

Подробное решение

📚 Теория: Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны: $∣ a ∣ = ∣ - a ∣$ .
2. Геометрический смысл: $∣ a - b ∣$ — это расстояние между точками $a$ и $b$ . Расстояние от $a$ до $b$ равно расстоянию от $b$ до $a$ .
3. Положительный множитель можно выносить за знак модуля.

Пункт а)

Равенство: $∣ x ∣ = ∣ - x ∣$ .

Точки с координатами $x$ и $- x$ находятся на координатной прямой на одинаковом расстоянии от начала отсчета (точки 0), но по разные стороны от него (если $x \neq = 0$ ). Модуль — это и есть расстояние до нуля. Следовательно, их модули равны.

Пункт б)

Равенство: $∣ x - y ∣ = ∣ y - x ∣$ .

Выражение $y - x$ можно записать как $- (x - y)$ . То есть числа $(x - y)$ и $(y - x)$ являются противоположными.

Используя свойство из пункта а), получаем:

∣ x - y ∣ = ∣ - (x - y) ∣ = ∣ y - x ∣

Также это можно объяснить геометрически: расстояние от точки $x$ до точки $y$ равно расстоянию от точки $y$ до точки $x$ .

Пункт в)

Равенство: $∣2 c ∣ = 2∣ c ∣$ .

Используем свойство модуля произведения: $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ .

∣2 c ∣ = ∣2∣ \cdot ∣ c ∣

Так как модуль положительного числа равен самому числу ( $∣2∣ = 2$ ), то:

∣2 c ∣ = 2∣ c ∣