Номер 212 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Верно ли, что для любых чисел $a$ и $b$ :

а) $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ ;
б) $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ ?

Краткое решение

а) $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ — неверно для любых чисел $a$ и $b$ .

Например, если $a = - 5, b = 3$ , то

∣ a + b ∣ = ∣ - 5 + 3∣ = ∣ - 2∣ = 2,

∣ a ∣ + ∣ b ∣ = ∣ - 5∣ + ∣3∣ = 5 + 3 = 8,

2 \neq = 8

б) $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ — верно для любых чисел $a$ и $b$ .

Подробное решение

📚 Теория: Свойства модуля

1. Неравенство треугольника: $∣ a + b ∣ \leq ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ . Равенство достигается только при $ab \geq 0$ .
2. Модуль произведения: $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ . Это свойство выполняется для любых действительных чисел.

Пункт а)

Проверим равенство $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ .

Возьмем числа с разными знаками. Пусть $a = 3$ , $b = - 2$ .

Левая часть:

∣3 + (- 2) ∣ = ∣1∣ = 1

Правая часть:

∣3∣ + ∣ - 2∣ = 3 + 2 = 5

Так как $1 \neq = 5$ , утверждение не является верным для любых чисел.

Вывод: Неверно.

Пункт б)

Проверим равенство $∣ ab ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$ .

Модуль числа — это расстояние от начала координат до точки. При перемножении чисел их абсолютные величины перемножаются, а знак результата зависит от знаков множителей. Модуль "убирает" знак, поэтому равенство справедливо всегда.

Пример: $a = - 3, b = 4$ .

∣ (- 3) \cdot 4∣ = ∣ - 12∣ = 12

∣ - 3∣ \cdot ∣4∣ = 3 \cdot 4 = 12

Вывод: Верно.