Является ли тождеством равенство:
- а) ∣a+5∣=a+5;
- б) ∣a2+4∣=a2+4;
- в) ∣a−b∣−∣b−a∣=0;
- г) ∣a+b∣−∣a∣=∣b∣?
Краткое решение
а) ∣a+5∣=a+5 не является тождеством, так как выполняется не при всех значениях a.
Например, при a=−7:
∣−7+5∣=∣−2∣=2
−7+5=−2
2=−2
б) ∣a2+4∣=a2+4 является тождеством, так как a2+4>0 при любом значении a.
в) ∣a−b∣−∣b−a∣=0 является тождеством, так как выражение b−a противоположно выражению a−b, а модули противоположных чисел равны.
г) ∣a+b∣−∣a∣=∣b∣ не является тождеством, так как выполняется не при всех значениях a и b.
Например, при a=−3,b=1:
Левая часть: ∣−3+1∣−∣−3∣=∣−2∣−3=2−3=−1
Правая часть: ∣1∣=1
−1=1
Подробное решение
📚 Теория: Тождество
Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных.
Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно привести один пример (контрпример), при котором оно не выполняется.
Подробный анализ:
- Пункт а) Равенство ∣x∣=x верно только для x≥0. В нашем случае, если a+5<0, равенство нарушается. Мы это показали на примере a=−7.
- Пункт б) Выражение a2 всегда неотрицательно. Если к нему прибавить 4, получится положительное число. Модуль положительного числа равен самому числу. Утверждение верно всегда.
- Пункт в) ∣a−b∣=∣−(b−a)∣=∣b−a∣. Разность двух равных величин всегда равна нулю. Утверждение верно.
- Пункт г) Это равенство предполагает, что модуль суммы равен сумме модулей (если перенести ∣a∣ вправо: ∣a+b∣=∣a∣+∣b∣). Это верно только если числа одного знака. Если знаки разные, равенство не работает.
