Имеет ли корни уравнение:
- а) 3x+7=(9+x)+2x;
- б) 5x−1=4(x+2)−(9−x);
- в) x2=x;
- г) x+1=x−1?
Краткое решение
а) 3x+7=(9+x)+2x
3x+7=9+x+2x
3x−x−2x=9−7
0x=2
0=2 — неверно.
Ответ: уравнение не имеет корней.
б) 5x−1=4(x+2)−(9−x)
5x−1=4x+8−9+x
5x−4x−x=8+1−9
0x=0
0=0 — верно.
Ответ: x — любое число.
в) x2=x
x2−x=0
x(x−1)=0
x=0 или x−1=0
x=1
Ответ: корни уравнения 0 и 1.
г) x+1=x−1
x−x=−1−1
0x=−2
0=−2 — неверно.
Ответ: уравнение не имеет корней.
Подробное решение
📚 Теория: Количество решений
1. Если при решении получается равенство 0x=a (где ae0), уравнение не имеет корней.
2. Если получается равенство 0x=0, корнем является любое число.
3. Если получается квадратное уравнение x2=x, нужно перенести все в одну часть и разложить на множители.
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно попытаться решить каждое уравнение (упростить его).
- Пункт а) После раскрытия скобок и приведения подобных переменная x исчезает, и остается ложное равенство 7=9. Это значит, что нет такого x, при котором равенство стало бы верным.
- Пункт б) Здесь тоже переменная x исчезает, но остается верное равенство −1=−1 (или 0=0). Это значит, что x может быть любым.
- Пункт в) Уравнение x2=x имеет два корня. Нельзя просто делить на x (можно потерять корень 0). Правильный способ: перенести x влево и вынести общий множитель.
- Пункт г) Очевидно, что число не может быть равно самому себе минус 2 (разница между x+1 и x−1 равна 2). Алгебраически это подтверждается тем, что 0=−2 — ложь.
