Постройте график функции:
y={−x+1,2x−3,если x≤1если x>1 Определите, при каких значениях m прямая y=m и график данной функции:
- не имеют общих точек;
- имеют ровно одну общую точку;
- имеют ровно две общие точки.
Краткое решение
1. Таблицы значений:Для y=−x+1 (x≤1):
Для y=2x−3 (x>1):
*Точка (1; -1) выколотая
2. Ответы по параметру m:- а) Нет общих точек:
- б) Одна общая точка:
- в) Две общие точки:
Подробное решение
📚 Теория: Разрыв функции
В этой задаче части графика не соединяются.
При x=1 левая часть заканчивается в точке (1;0), а правая начинается (не включая саму точку) с (1;−1).
Образуется "окно" по высоте (по оси Y), в котором график существует только частично или не существует вовсе.
1. Построение графика
- Левая часть: y=−x+1 при x≤1.
В точке x=1 значение y=0. Точка закрашенная (входит в промежуток). - Правая часть: y=2x−3 при x>1.
Найдем значение на границе x=1: y=2(1)−3=−1.
Так как неравенство строгое (x>1), эта точка (1;−1) будет выколотой (пустой кружок).
Рис 1. График с разрывом при x = 1
2. Исследование (сканируем горизонтальной прямой)
Представьте прямую y=m, которая поднимается снизу вверх.
а) Нет общих точек (0)
Смотрим на график ниже уровня −1. Там графиков нет вообще. В самой точке −1 тоже пусто, так как у синего графика точка выколота.
Значит: m≤−1.
б) Ровно одна общая точка (1)
Это происходит в промежутке между −1 и 0. В этом коридоре существует только правая (синяя) ветвь.
Левая ветвь начинается только с высоты 0.
Значит: −1<m<0.
в) Две общие точки (2)
Начиная с высоты 0 (где у нас точка (1;0)) и выше, прямая пересекает обе ветви графика.
Значит: m≥0.
