(Задача-исследование.)
Найдите всевозможные значения a, где a — натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и a.
- Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.
- Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа a.
- Сделайте вывод о значениях числа a.
Краткое решение
15=3⋅5
90=2⋅32⋅5
НОК(15;a)=90⇒a=2⋅32⋅5k, где k∈{0;1}
a1=2⋅32=18
a2=2⋅32⋅5=90
Ответ: 18; 90.
Подробное решение
📚 Теория: Нахождение НОК
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это произведение всех простых множителей, входящих в разложение этих чисел, взятых с наибольшим из имеющихся показателей степени.
Выполним исследование по предложенному плану:
- Разложение на множители:
15=31⋅51
90=21⋅32⋅51
- Анализ множителей числа a:
Так как в НОК (90) присутствуют множители, которых нет в разложении числа 15, или их степени выше, они обязательно должны быть в числе a:
- Множитель 21: его нет в 15, значит, он обязательно есть в a.
- Множитель 32: в числе 15 тройка только в первой степени, значит, 32 обязательно входит в a.
- Множитель 51: он уже есть в числе 15. Значит, в числе a пятерка может быть как в первой степени (51), так и отсутствовать вовсе (50=1).
- Вывод:
Число a обязательно содержит 2⋅32=18. Возможные варианты зависят от наличия множителя 5:
- Если пятерки нет: a=18.
- Если пятерка есть: a=18⋅5=90.
