Номер 539 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом натуральном $n$ значение дроби является натуральным числом:

а) \ \frac{10^n - 1}{9};

б) \ \frac{10^n + 8}{9};

в) \ \frac{10^n - 4}{3}.

Краткое решение

а) $10^n - 1 = \underbrace{99\dots9}_{n}$ . Сумма цифр $9n$ делится на 9.

б) $10^n + 8 = 1\underbrace{0\dots0}_{n-1}8$ . Сумма цифр $1+8=9$ делится на 9.

в) $10^n - 4 = \underbrace{9\dots9}_{n-1}6$ . Сумма цифр $9(n-1)+6$ делится на 3.

Вывод: значения дробей — натуральные числа.

Подробное решение

📚 Теория: Признаки делимости

1. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
2. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
3. При любом $n$ , число $10^n$ — это единица с $n$ нулями.

Для доказательства того, что дробь является натуральным числом, нужно показать, что числитель делится на знаменатель нацело.

Пункт а)

Число $10^n - 1$ состоит из $n$ девяток: $99\dots9$ . Сумма его цифр равна $9n$ . Так как $9n$ делится на 9, то и само число делится на 9 по признаку делимости.

Пункт б)

Число $10^n + 8$ имеет вид $10\dots08$ . Сумма цифр: $1 + 0 + \dots + 0 + 8 = 9$ . Сумма делится на 9, значит, число кратно 9.

Пункт в)

Число $10^n - 4$ при $n > 1$ оканчивается на 6, а перед ней стоят девятки: $9\dots96$ . Сумма цифр $9(n-1) + 6$ всегда делится на 3, так как оба слагаемых кратны 3.

Номер 539 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Признаки делимости

💡 Похожие задачи

🕒 Вы недавно смотрели