Номер 627 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Задача-исследование.)

В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого предлагается такой способ угадывания задуманного двузначного числа:

«Если кто задумал двузначное число, то скажи ему, чтобы он увеличил число десятков в $2$ раза и к произведению прибавил $5$ единиц; затем полученную сумму увеличил в $5$ раз и к новому произведению прибавил $10$ единиц и число единиц задуманного числа. Если ты из указанного результата вычтешь $35$ , то узнаешь задуманное число».

Выберите двузначное число и проверьте предложенный способ угадывания задуманного числа.
Предложите соседу по парте задумать двузначное число, выполнить указанные в условии задачи действия и сообщить результат.
Найдите число, задуманное соседом.
Докажите справедливость способа отгадывания задуманного двузначного числа.

Краткое решение

1) Пусть $45$ — задуманное число.

(4 \cdot 2 + 5) \cdot 5 + 10 + 5 =

= (8 + 5) \cdot 5 + 15 = 13 \cdot 5 + 15 =

= 65 + 15 = 80 - результат действий .

80 - 35 = 45 - задуманное число .

2) Пусть сосед по парте задумал число $74$ .

(7 \cdot 2 + 5) \cdot 5 + 10 + 4 =

= (14 + 5) \cdot 5 + 14 = 19 \cdot 5 + 14 =

= 95 + 14 = 109 - результат вычислений соседа .

3) $109 - 35 = 74$ — число, задуманное соседом по парте.

4) Доказательство:

\overline{ab} = 10 a + b

(2 a + 5) \cdot 5 + 10 + b - 35 =

= 10 a + 25 + 10 + b - 35 = 10 a + b = \overline{ab}

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Поразрядная запись числа

Любое двузначное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых:

\overline{ab} = 10 a + b

где

a

— количество десятков, а

b

— количество единиц.

Суть способа заключается в том, что все математические операции, описанные в «Арифметике» Магницкого, в итоге приводят к упрощению выражения до исходного числа плюс константа, которая затем вычитается.

Алгебраический разбор:

Обозначим десятки задуманного числа буквой $a$ , а единицы — буквой $b$ .

Увеличиваем десятки в $2$ раза: $2 a$ .
Прибавляем $5$ : $2 a + 5$ .
Умножаем на $5$ : $5 (2 a + 5) = 10 a + 25$ .
Прибавляем $10$ : $10 a + 25 + 10 = 10 a + 35$ .
Прибавляем число единиц $b$ : $10 a + 35 + b$ .

Получаем итоговое выражение: $10 a + b + 35$ . Заметим, что $10 a + b$ — это и есть наше задуманное число $\overline{ab}$ . Чтобы «очистить» его от лишних прибавлений, Магницкий предлагает вычесть $35$ :

(10 a + b + 35) - 35 = 10 a + b

Таким образом, мы всегда будем возвращаться к исходному числу независимо от того, какое двузначное число было выбрано в начале.

💡 Похожие задачи

Номер 626