Номер 625 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Известно, что при некоторых натуральных значениях $n$ значение выражения $n^{3} + n$ кратно $30$ . Будет ли кратно $30$ при тех же значениях $n$ значение выражения:

а) $n^{3} + 31 n$ ;

б) $n^{3} - 29 n$ ?

Краткое решение

а)

n^{3} + 31 n = (n^{3} + n) + 30 n

$(n^{3} + n) ⋮ 30$ и

30 n ⋮ 30 \Rightarrow (n^{3} + 31 n) ⋮ 30

б)

n^{3} - 29 n = (n^{3} + n) - 30 n

$(n^{3} + n) ⋮ 30$ и

30 n ⋮ 30 \Rightarrow (n^{3} - 29 n) ⋮ 30

Ответ: а) да; б) да.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства делимости

Если каждое слагаемое суммы делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Аналогично для разности: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число, то и разность делится на него.

По условию задачи нам дано, что $n^{3} + n$ делится на $30$ без остатка.

Решение пункта а)

Представим выражение $n^{3} + 31 n$ в виде суммы, выделив известное нам выражение:

n^{3} + 31 n = n^{3} + n + 30 n = (n^{3} + n) + 30 n

Проанализируем слагаемые:

Первое слагаемое $(n^{3} + n)$ кратно $30$ по условию.
Второе слагаемое $30 n$ кратно $30$ , так как содержит множитель $30$ (при натуральном $n$ ).

Так как оба слагаемых кратны $30$ , то и их сумма $n^{3} + 31 n$ также кратна $30$ .

Решение пункта б)

Аналогично преобразуем выражение $n^{3} - 29 n$ :

n^{3} - 29 n = n^{3} + n - 30 n = (n^{3} + n) - 30 n

Проанализируем части разности:

Уменьшаемое $(n^{3} + n)$ кратно $30$ по условию.
Вычитаемое $30 n$ кратно $30$ .

Разность двух чисел, кратных $30$ , также будет кратна $30$ . Следовательно, выражение $n^{3} - 29 n$ делится на $30$ .

💡 Похожие задачи

Номер 624