Номер 699 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x^{2} + x y - y^{2}) (x + y)$ ;

д) $(a^{2} - 2 a + 3) (a - 4)$ ;

б) $(n^{2} - n p + p^{2}) (n - p)$ ;

е) $(5 x - 2) (x^{2} - x - 1)$ ;

в) $(a + x) (a^{2} - a x - x^{2})$ ;

ж) $(2 - 2 x + x^{2}) (x + 5)$ ;

г) $(b - c) (b^{2} - b c - c^{2})$ ;

з) $(3 y - 4) (y^{2} - y + 1)$ .

Краткое решение

а) (x^{2} + x y - y^{2}) (x + y) = x^{3} + 2 x^{2} y - y^{3};

б) (n^{2} - n p + p^{2}) (n - p) = n^{3} - 2 n^{2} p + 2 n p^{2} - p^{3};

в) (a + x) (a^{2} - a x - x^{2}) = a^{3} - 2 a x^{2} - x^{3};

г) (b - c) (b^{2} - b c - c^{2}) = b^{3} - 2 b^{2} c + c^{3};

д) (a^{2} - 2 a + 3) (a - 4) = a^{3} - 6 a^{2} + 11 a - 12;

е) (5 x - 2) (x^{2} - x - 1) = 5 x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 2;

ж) (2 - 2 x + x^{2}) (x + 5) = x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 10;

з) (3 y - 4) (y^{2} - y + 1) = 3 y^{3} - 7 y^{2} + 7 y - 4.

Подробное решение

📚 Теория: Умножение многочленов

Правило остается прежним: чтобы умножить один многочлен на другой, нужно каждое слагаемое первой скобки поочередно умножить на каждое слагаемое второй скобки. В данном случае мы умножаем двучлен на трехчлен, поэтому после раскрытия скобок сначала получится $2 \times 3 = 6$ слагаемых, которые затем нужно упростить (привести подобные).

Разберем подробное раскрытие скобок и упрощение на примерах:

Разбор пункта а)

Умножаем каждое слагаемое первой скобки на $x$ , а затем на $y$ :

x^{2} \cdot x + x^{2} \cdot y + x y \cdot x + x y \cdot y - y^{2} \cdot x - y^{2} \cdot y =

= x^{3} + x^{2} y + x^{2} y + x y^{2} - x y^{2} - y^{3} = x^{3} + 2 x^{2} y - y^{3} .

Разбор пункта е)

Умножаем $5 x$ на все члены второй скобки, затем $- 2$ на те же члены:

5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot x - 5 x \cdot 1 - 2 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 2 \cdot 1 =

= 5 x^{3} - 5 x^{2} - 5 x - 2 x^{2} + 2 x + 2 = 5 x^{3} - 7 x^{2} - 3 x + 2.