Номер 708 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите тождество:

а) $(x - 3) (x + 7) - 13 = (x + 8) (x - 4) - 2$ ;

б) $16 - (a + 3) (a + 2) = 4 - (6 + a) (a - 1)$ .

Краткое решение

а) Упростим обе части тождества:

Левая: $x^{2} + 7 x - 3 x - 21 - 13 = x^{2} + 4 x - 34$

Правая: $x^{2} - 4 x + 8 x - 32 - 2 = x^{2} + 4 x - 34$

x^{2} + 4 x - 34 = x^{2} + 4 x - 34

Тождество доказано.

б) Упростим обе части тождества:

Левая: $16 - (a^{2} + 2 a + 3 a + 6) = 16 - a^{2} - 5 a - 6 = - a^{2} - 5 a + 10$

Правая: $4 - (6 a - 6 + a^{2} - a) = 4 - a^{2} - 5 a + 6 = - a^{2} - 5 a + 10$

- a^{2} - 5 a + 10 = - a^{2} - 5 a + 10

Тождество доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство методом упрощения обеих частей

Если обе части равенства содержат сложные выражения со скобками, то наиболее эффективным способом доказательства является параллельное упрощение обеих сторон. Если после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в левой и правой частях получаются одинаковые многочлены, тождество считается доказанным.

Для доказательства тождеств раскроем скобки в каждой части равенства отдельно:

Разбор пункта а)

Слева: $(x - 3) (x + 7) - 13$ . Перемножаем скобки: $x^{2} + 7 x - 3 x - 21$ . Вычитаем 13: $x^{2} + 4 x - 34$ .

Справа: $(x + 8) (x - 4) - 2$ . Перемножаем скобки: $x^{2} - 4 x + 8 x - 32$ . Вычитаем 2: $x^{2} + 4 x - 34$ .

Результаты совпали, следовательно, равенство является тождеством.

Разбор пункта б)

Важно: здесь перед произведениями стоит знак «минус», поэтому сначала результат умножения оставляем в скобках.

Слева: $16 - (a^{2} + 5 a + 6) = 16 - a^{2} - 5 a - 6 = - a^{2} - 5 a + 10$ .

Справа: $4 - (a^{2} + 5 a - 6) = 4 - a^{2} - 5 a + 6 = - a^{2} - 5 a + 10$ .

Обе части равенства после упрощения представляют собой один и тот же многочлен.