Номер 706 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при любом значении $x$ :

а) значение выражения $(x - 3) (x + 7) - (x + 5) (x - 1)$ равно $- 16$ ;

б) значение выражения $x^{4} - (x^{2} - 7) (x^{2} + 7)$ равно $49$ .

Краткое решение

а) $(x - 3) (x + 7) - (x + 5) (x - 1) =$

= (x^{2} + 7 x - 3 x - 21) - (x^{2} - x + 5 x - 5) =

= x^{2} + 4 x - 21 - x^{2} - 4 x + 5 = - 16.

Доказано.

б) $x^{4} - (x^{2} - 7) (x^{2} + 7) =$

= x^{4} - (x^{4} + 7 x^{2} - 7 x^{2} - 49) =

= x^{4} - x^{4} + 49 = 49.

Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Независимость от переменной

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, нужно упростить это выражение (раскрыть скобки и привести подобные слагаемые). Если после упрощения все переменные взаимно уничтожаются, а в результате остается только число, то утверждение доказано.

Проведем подробное доказательство для каждого пункта:

Разбор пункта а)

Раскрываем первые скобки: $x^{2} + 7 x - 3 x - 21 = x^{2} + 4 x - 21$ .
Раскрываем вторые скобки: $x^{2} - x + 5 x - 5 = x^{2} + 4 x - 5$ .
Вычитаем второй многочлен из первого, меняя знаки: $x^{2} + 4 x - 21 - x^{2} - 4 x + 5$ .
Все члены с $x$ уничтожаются, остается $- 21 + 5 = - 16$ . Значение постоянно.

Разбор пункта б)

Перемножаем скобки во втором слагаемом:

(x^{2} - 7) (x^{2} + 7) = x^{4} + 7 x^{2} - 7 x^{2} - 49 = x^{4} - 49.

Вычитаем полученное произведение из $x^{4}$ :

x^{4} - (x^{4} - 49) = x^{4} - x^{4} + 49 = 49.

Результат всегда равен 49 вне зависимости от того, какое число подставлено вместо $x$ .