Номер 709 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что значение выражения не зависит от переменной $x$ :

а) $(x - 5) (x + 8) - (x + 4) (x - 1)$ ;

б) $x^{4} - (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$ .

Краткое решение

а) $(x - 5) (x + 8) - (x + 4) (x - 1) =$

= (x^{2} + 8 x - 5 x - 40) - (x^{2} - x + 4 x - 4) =

= (x^{2} + 3 x - 40) - (x^{2} + 3 x - 4) =

= x^{2} + 3 x - 40 - x^{2} - 3 x + 4 = - 36.

Так как результат (-36) не содержит x, значение выражения от x не зависит.

б) $x^{4} - (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) =$

= x^{4} - (x^{4} + x^{2} - x^{2} - 1) =

= x^{4} - (x^{4} - 1) =

= x^{4} - x^{4} + 1 = 1.

Результат (1) не зависит от x.

Подробное решение

📚 Теория: Независимость от переменной

Если после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых все члены с переменной $x$ взаимно уничтожаются и остается только число, это означает, что значение выражения будет одинаковым при любом $x$ .

Для доказательства выполним упрощение каждого выражения по шагам:

Разбор пункта а)

Перемножаем первые две скобки: $x^{2} + 8 x - 5 x - 40$ .
Перемножаем вторую пару скобок (результат пока держим в уме или в скобках): $x^{2} - x + 4 x - 4$ .
Упрощаем внутри скобок: получаем $(x^{2} + 3 x - 40)$ и $(x^{2} + 3 x - 4)$ .
Раскрываем скобки, учитывая минус перед второй частью (знаки меняются!): $x^{2} + 3 x - 40 - x^{2} - 3 x + 4$ .
Приводим подобные: $x^{2}$ и $- x^{2}$ сокращаются, $3 x$ и $- 3 x$ сокращаются. Остается $- 40 + 4 = - 36$ .

Разбор пункта б)

Здесь используется умножение многочленов, которое позже вы узнаете как формулу разности квадратов. При перемножении $(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$ средние члены $x^{2}$ и $- x^{2}$ уничтожаются сразу, остается $x^{4} - 1$ . Минус перед скобкой превращает выражение в $x^{4} - x^{4} + 1$ , что дает единицу.