Номер 711 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при всех целых $n$ значение выражения:

а) $n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)$ делится на $6$ ;

б) $n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)$ делится на $7$ .

Краткое решение

а) Упростим выражение:

n(n - 1) - (n + 3)(n + 2) = n^2 - n - (n^2 + 5n + 6) =

= n^2 - n - n^2 - 5n - 6 = -6n - 6 = -6(n + 1).

Так как один из множителей равен $-6$ , то всё выражение делится на 6.

б) Упростим выражение:

n(n + 2) - (n - 7)(n - 5) = n^2 + 2n - (n^2 - 12n + 35) =

= n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35 = 14n - 35 = 7(2n - 5).

Так как полученное произведение содержит множитель 7, оно кратно 7.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство делимости

Чтобы доказать, что значение выражения делится на число $k$ , его нужно упростить и представить в виде произведения, в котором один из множителей либо равен $k$ , либо кратен ему. При раскрытии скобок, перед которыми стоит минус, не забывайте менять знаки всех слагаемых внутри.

Разберем подробное выполнение преобразований для каждого пункта:

Разбор пункта а)

Умножаем одночлен на многочлен: $n(n - 1) = n^2 - n$ .
Перемножаем две скобки: $(n + 3)(n + 2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6$ .
Раскрываем скобки с учетом минуса: $n^2 - n - n^2 - 5n - 6$ .
Приводим подобные: $n^2$ уничтожаются, $-n - 5n = -6n$ . Получаем $-6n - 6$ .
Выносим общий множитель: $-6(n + 1)$ . Это число всегда кратно 6.

Разбор пункта б)

После раскрытия скобок получаем $14n - 35$ . Мы видим, что оба числа (14 и 35) делятся на 7. Вынося 7 за скобки ( $7(2n - 5)$ ), мы доказываем, что при любом целом $n$ результат будет кратен 7.