Номер 715 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Решение пункта а)

Для доказательства кратности упростим исходное выражение:

1. Раскроем скобки: $n(n+5)$ превращается в $n^2+5n$, а произведение $(n-3)(n+2)$ дает $n^2+2n-3n-6$.
2. Запишем всё выражение, учитывая минус перед вторыми скобками:
   $n^2+5n-(n^2-n-6)$
3. Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:
   $n^2+5n-n^2+n+6=6n+6$
4. Вынесем общий множитель $6$ за скобки:
   $6(n+1)$

Так как один из множителей равен $6$, то всё произведение при любом натуральном $n$ делится на $6$ без остатка. Что и требовалось доказать.

Решение пункта б)

Действуем по аналогичному алгоритму:

1. Заметим, что $(n-1)(n+1)$ — это разность квадратов: $n^2-1$.
2. Перемножим вторую пару скобок: $(n-7)(n-5)=n^2-5n-7n+35=n^2-12n+35$.
3. Вычтем из первого выражения второе:
   $n^2-1-(n^2-12n+35)=n^2-1-n^2+12n-35$
4. Приведем подобные слагаемые:
   $12n-36$
5. Вынесем $12$ за скобки:
   $12(n-3)$

Полученное выражение содержит множитель $12$, следовательно, оно кратно $12$ при любом $n>2$ (чтобы значение в скобках было натуральным или нулем). Доказано.