Номер 712 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Пусть $a, b, c$ и $d$ — четыре последовательных нечётных числа. Докажите, что разность $c d - ab$ кратна $16$ .

Краткое решение

Обозначим последовательные нечётные числа:

$a = n, b = n + 2, c = n + 4, d = n + 6$ , где $n$ — нечётное число.

Составим разность:

c d - ab = (n + 4) (n + 6) - n (n + 2) =

= n^{2} + 6 n + 4 n + 24 - (n^{2} + 2 n) =

= n^{2} + 10 n + 24 - n^{2} - 2 n = 8 n + 24 = 8 (n + 3) .

Так как $n$ нечётное, то $(n + 3)$ — число чётное (его можно представить как $2 k$ ).

8 \cdot 2 k = 16 k (кратно 16) .

Доказано.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства нечетных чисел

1. Каждое следующее нечётное число больше предыдущего на 2.
2. Сумма (или разность) двух нечётных чисел всегда является чётным числом.
3. Чётное число всегда можно записать в виде $2 k$ , где $k$ — целое число.

Проведем подробное алгебраическое доказательство:

1. Математическая модель

Любые четыре последовательных нечётных числа можно представить как $x, x + 2, x + 4$ и $x + 6$ . По условию это $a, b, c$ и $d$ соответственно.

2. Преобразование выражения

Найдем разность произведений:

c d - ab = (x + 4) (x + 6) - x (x + 2)

Раскрываем скобки:

x^{2} + 6 x + 4 x + 24 - x^{2} - 2 x = 8 x + 24

Выносим общий множитель 8:

8 (x + 3)

3. Анализ результата

Поскольку $x$ — число нечётное, то прибавляя к нему 3 (тоже нечётное), мы гарантированно получаем чётное число. Чётное число делится на 2.
Таким образом, выражение $8 \cdot (чётное число)$ обязательно делится на $8 \cdot 2 = 16$ .