Номер 711 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что при всех целых $n$ значение выражения:

а) $n (n - 1) - (n + 3) (n + 2)$ делится на $6$ ;

б) $n (n + 2) - (n - 7) (n - 5)$ делится на $7$ .

Краткое решение

а) Упростим выражение:

n (n - 1) - (n + 3) (n + 2) = n^{2} - n - (n^{2} + 5 n + 6) =

= n^{2} - n - n^{2} - 5 n - 6 = - 6 n - 6 = - 6 (n + 1) .

Так как один из множителей равен $- 6$ , то всё выражение делится на 6.

б) Упростим выражение:

n (n + 2) - (n - 7) (n - 5) = n^{2} + 2 n - (n^{2} - 12 n + 35) =

= n^{2} + 2 n - n^{2} + 12 n - 35 = 14 n - 35 = 7 (2 n - 5) .

Так как полученное произведение содержит множитель 7, оно кратно 7.

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство делимости

Чтобы доказать, что значение выражения делится на число $k$ , его нужно упростить и представить в виде произведения, в котором один из множителей либо равен $k$ , либо кратен ему. При раскрытии скобок, перед которыми стоит минус, не забывайте менять знаки всех слагаемых внутри.

Разберем подробное выполнение преобразований для каждого пункта:

Разбор пункта а)

Умножаем одночлен на многочлен: $n (n - 1) = n^{2} - n$ .
Перемножаем две скобки: $(n + 3) (n + 2) = n^{2} + 2 n + 3 n + 6 = n^{2} + 5 n + 6$ .
Раскрываем скобки с учетом минуса: $n^{2} - n - n^{2} - 5 n - 6$ .
Приводим подобные: $n^{2}$ уничтожаются, $- n - 5 n = - 6 n$ . Получаем $- 6 n - 6$ .
Выносим общий множитель: $- 6 (n + 1)$ . Это число всегда кратно 6.

Разбор пункта б)

После раскрытия скобок получаем $14 n - 35$ . Мы видим, что оба числа (14 и 35) делятся на 7. Вынося 7 за скобки ( $7 (2 n - 5)$ ), мы доказываем, что при любом целом $n$ результат будет кратен 7.