Представьте в виде произведения:
- а) ac2−ad+c3−cd−bc2+bd
- б) ax2+ay2−bx2−by2+b−a
- в) an2+cn2−ap+ap2−cp+cp2
- г) xy2−by2−ax+ab+y2−a
Краткое решение
а)(ac2+c3−bc2)−(ad+cd−bd)=c2(a+c−b)−d(a+c−b)=(a+c−b)(c2−d). б)(ax2+ay2−a)−(bx2+by2−b)=a(x2+y2−1)−b(x2+y2−1)=(a−b)(x2+y2−1). в)(an2+cn2)+(ap2+cp2)−(ap+cp)=(a+c)n2+(a+c)p2−(a+c)p=(a+c)(n2+p2−p). г)(xy2−by2+y2)−(ax−ab+a)=y2(x−b+1)−a(x−b+1)=(x−b+1)(y2−a). Подробное решение
📚 Теория: Группировка в сложных выражениях
Когда в многочлене много слагаемых (например, шесть), их можно разбивать на две группы по три слагаемых или на три группы по два. Ключ к успеху — найти такую группировку, которая даст одинаковую скобку во всех частях выражения.
Подробный ход решения
Пункт а)
Многочлен состоит из шести слагаемых. Сгруппируем их по признаку общих букв c2 и d:
- Объединяем: (ac2+c3−bc2)+(−ad−cd+bd).
- Из первой тройки выносим c2, из второй — минус d:
c2(a+c−b)−d(a+c−b) - Замечаем общую скобку (a+c−b) и выносим её за скобки.
Пункт б)
Здесь удобно сгруппировать члены с общими коэффициентами a и b:
- Группируем: (ax2+ay2−a)+(−bx2−by2+b).
- Выносим a из первой группы. Из второй группы выносим −b, чтобы знаки внутри стали такими же, как в первой скобке (минус превращается в плюс, а плюс перед b — в минус):
a(x2+y2−1)−b(x2+y2−1) - Результат: (a−b)(x2+y2−1).
Пункт в)
Ищем пары с общими буквенными частями:
- Группируем по степеням: (an2+cn2)+(ap2+cp2)−(ap+cp).
- В каждой паре выносим переменную, стоящую за скобкой: n2(a+c)+p2(a+c)−p(a+c).
- Общий множитель (a+c) выносим вперед.
Пункт г)
Распределим слагаемые на две группы по три:
- Группируем: (xy2−by2+y2)+(−ax+ab−a).
- Из первой тройки выносим y2. Из второй выносим −a. Помним, что если выносим множитель из одиночной переменной (как y2 или a), на её месте в скобках остается 1:
y2(x−b+1)−a(x−b+1) - Итоговое произведение: (x−b+1)(y2−a).
