Разложите на множители выражение x6−y6, представив его в виде:
- а) разности квадратов;
- б) разности кубов.
Краткое решение
а) Как разность квадратов:
x6−y6=(x3)2−(y3)2= =(x3−y3)(x3+y3)= =(x−y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2−xy+y2). б) Как разность кубов:
x6−y6=(x2)3−(y2)3= =(x2−y2)(x4+x2y2+y4)= =(x−y)(x+y)(x4+x2y2+y4). Подробное решение
📚 Методы работы со степенями
При разложении степени n6 есть два пути:
- Через квадраты: представьте как (n3)2. Это ведет к формулам разности и суммы кубов.
- Через кубы: представьте как (n2)3. Это ведет к формуле разности квадратов.
- Первый способ (через квадраты) обычно позволяет разложить выражение на большее количество простых множителей.
Подробный разбор способов разложения
Способ а): Разность квадратов
1. Представим шестые степени как квадраты кубов: (x3)2−(y3)2.
2. Применяем формулу разности квадратов: (x3−y3)(x3+y3).
3. Теперь каждую скобку можно разложить дальше: первую — по формуле разности кубов, вторую — по формуле суммы кубов.
Итоговый результат: (x−y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2−xy+y2).
Способ б): Разность кубов
1. Представим шестые степени как кубы квадратов: (x2)3−(y2)3.
2. Применяем формулу разности кубов для оснований x2 и y2: (x2−y2)((x2)2+x2y2+(y2)2).
3. В первой скобке применяем разность квадратов: (x−y)(x+y).
Итоговый результат: (x−y)(x+y)(x4+x2y2+y4).
