Разложите на множители многочлен:
- а) 5x2−5y2;
- б) am2−an2;
- в) 2ax2−2ay2;
- г) 9p2−9;
- д) 16x2−4;
- е) 75−27c2;
Краткое решение
а) 5x2−5y2=5(x2−y2)=
=5(x−y)(x+y);
б) am2−an2=a(m2−n2)=
=a(m−n)(m+n);
в) 2ax2−2ay2=2a(x2−y2)=
=2a(x−y)(x+y);
г) 9p2−9=9(p2−1)=
=9(p−1)(p+1);
д) 16x2−4=4(4x2−1)=
=4((2x)2−12)=4(2x−1)(2x+1);
е) 75−27c2=3(25−9c2)=
=3(52−(3c)2)=3(5−3c)(5+3c).
Подробное решение
📚 Комбинированный метод разложения
Для полного разложения на множители используйте алгоритм:
- Сначала выносите общий множитель: проверьте все члены многочлена на наличие общих чисел или букв.
- Применяйте формулы: если в скобках осталась разность квадратов a2−b2, разложите её на произведение (a−b)(a+b).
- Будьте внимательны с коэффициентами: в пунктах д и е после вынесения общего множителя в скобках остаются сложные квадраты (например, 9c2 — это (3c)2).
Развернутый пошаговый разбор всех пунктов
Разбор пунктов а), б), в)
В этих примерах достаточно вынести за скобки общий числовой или буквенный коэффициент. Внутри скобок сразу получается классическая разность квадратов x2−y2 или m2−n2.
Разбор пункта г): 9p2−9
1. Оба члена делятся на 9. Выносим: 9(p2−1).
2. Заметим, что 1=12. Раскладываем скобку по формуле разности квадратов.
Итог: 9(p−1)(p+1).
Разбор пункта д): 16x2−4
1. Вынесем общий множитель 4: 4(4x2−1).
2. Представим члены в скобках как квадраты: 4x2=(2x)2 и 1=12.
3. Раскладываем разность квадратов оснований 2x и 1.
Итог: 4(2x−1)(2x+1).
Разбор пункта е): 75−27c2
1. Числа 75 и 27 кратны 3. Выносим: 3(25−9c2).
2. Выделяем квадраты оснований: 25=52, а 9c2=(3c)2.
3. Применяем формулу: 3(5−3c)(5+3c).
