Номер 964 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Для работы в парах.) Используя калькулятор, найдите значение многочлена $3, 5 x^{3} - 2, 1 x^{2} + 1, 9 x - 16, 7$ при $x = 3, 7$ .

Пусть один из вас вычислит сначала значения каждого члена многочлена, затем значение многочлена, а другой выполнит преобразование многочлена по образцу (схема Горнера) и сделает вычисления.
Отметьте затрату времени на выполнение задания в каждом случае.
Сравните полученные результаты и время.

Краткое решение

1-й способ (по членам):

$3, 5 \cdot 3, 7^{3} = 3, 5 \cdot 50, 653 = 177, 2855$
$2, 1 \cdot 3, 7^{2} = 2, 1 \cdot 13, 69 = 28, 749$
$1, 9 \cdot 3, 7 = 7, 03$
$177, 2855 - 28, 749 + 7, 03 - 16, 7 = 138, 8665$

2-й способ (преобразование):

((3, 5 x - 2, 1) x + 1, 9) x - 16, 7 =

= ((3, 5 \cdot 3, 7 - 2, 1) \cdot 3, 7 + 1, 9) \cdot 3, 7 - 16, 7 =

= (10, 85 \cdot 3, 7 + 1, 9) \cdot 3, 7 - 16, 7 =

= 42, 045 \cdot 3, 7 - 16, 7 = 138, 8665.

Ответ: 138,8665.

Подробное решение

📚 Оптимизация вычислений

При работе с многочленами высоких степеней:

Прямая подстановка требует возведения в степень, что увеличивает количество операций и риск ошибки.
Схема Горнера (метод вложенных скобок) сводит задачу к последовательному умножению и сложению: $a x^{2} + b x + c = (a x + b) x + c$ .
Этот метод значительно экономит время при ручных вычислениях и на калькуляторе.

Пошаговое выполнение задания

Способ 1: Прямое вычисление

Вычисляем каждое слагаемое по отдельности:

Первое: $3, 5 \cdot (3, 7 \cdot 3, 7 \cdot 3, 7) = 177, 2855$ ;
Второе: $2, 1 \cdot (3, 7 \cdot 3, 7) = 28, 749$ ;
Третье: $1, 9 \cdot 3, 7 = 7, 03$ .

Складываем и вычитаем результаты:
$177, 2855 - 28, 749 + 7, 03 - 16, 7 = 138, 8665$ .

Способ 2: Метод вложенных скобок (Схема Горнера)

Преобразуем многочлен, последовательно вынося $x$ за скобки:

$3, 5 x^{3} - 2, 1 x^{2} + 1, 9 x - 16, 7 = ((3, 5 x - 2, 1) x + 1, 9) x - 16, 7$ .

Выполняем действия изнутри наружу:

$3, 5 \cdot 3, 7 - 2, 1 = 12, 95 - 2, 1 = 10, 85$ ;
$10, 85 \cdot 3, 7 + 1, 9 = 40, 145 + 1, 9 = 42, 045$ ;
$42, 045 \cdot 3, 7 - 16, 7 = 155, 5665 - 16, 7 = 138, 8665$ .

Вывод

Оба способа дают одинаковый результат. Второй способ (схема Горнера) требует меньше нажатий клавиш на калькуляторе и выполняется быстрее, так как не нужно запоминать или записывать промежуточные результаты возведения в степень.