Номер 256 — ГДЗ Геометрия 7 класс Атанасян

№256. Докажите неравенство о длине ломаной. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Дано:

$ломаная A_{1} A_{2} \dots A_{n}$

Доказать:

$A_{1} A_{n} \leq A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots + A_{n - 1} A_{n}$

Доказательство:

1) в △ A_{1} A_{2} A_{n} : A_{1} A_{n} \leq A_{1} A_{2} + A_{2} A_{n}

2) в △ A_{2} A_{3} A_{n} : A_{2} A_{n} \leq A_{2} A_{3} + A_{3} A_{n}

\Rightarrow A_{1} A_{n} \leq A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + A_{3} A_{n}

3) повторяя для следующих вершин :

A_{1} A_{n} \leq A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots + A_{n - 1} A_{n}

Что и требовалось доказать: длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.