Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 112, Доп. задачи
№403. Толщина боковой стенки и дна стакана цилиндрической формы равна 1 см, высота стакана равна 16 см, а внутренний радиус равен 5 см. Вычислите площадь полной поверхности стакана.
✎ Запись в тетрадь
Дано:стакан-цилиндр; толщина стенки и дна 1 см; H=16 см; r=5 см
Найти:Sполн
Снаружи:
R=5+1=6 см,
H=16 см. Внутри:
r=5 см, глубина
h=16−1=15 см.
1Полная поверхность — это пять частей:
2S1=2πRH=192π (наруж. боковая),S2=πR2=36π (дно снаружи)2 S3=π(R2−r2)=11π (верхнее кольцо)3 S4=2πrh=150π (внутр. боковая),S5=πr2=25π (дно внутри)4 S=192π+36π+11π+150π+25π=414π (см2)5 Ответ: 414π см2.
Пояснение
Идея. Стакан — это внешний цилиндр без верхнего основания, из которого вынут внутренний цилиндр. У такого тела поверхность состоит из двух боковых поверхностей, двух доньев и верхнего кольца.
- 1Радиус наружной стенки — внутренний радиус плюс толщина стенки. Дно толщиной 1 см уменьшает глубину внутри: высота 16 см считается снаружи, внутри остаётся 15 см.
- 2Все пять частей поверхности, которых касается вода, воздух и рука: снаружи — боковая поверхность и дно, внутри — боковая поверхность и дно, а сверху — торец стенки.
- 3Торец стенки — кольцо между окружностями радиусов 6 и 5: его площадь равна разности площадей кругов.
- 4Внутренняя боковая поверхность и внутреннее дно считаются по внутренним размерам r=5, h=15, а не по наружным.
- 5Складываем все части и выносим π.
Частая ошибка. Взять для внутренней боковой поверхности высоту 16 см вместо 15 см: дно толщиной 1 см «съедает» часть глубины.
