Преобразуйте в произведение выражение:
- а) a2+b2−2ab−25;
- б) 36−b2−c2+2bc;
- в) 49−2ax−a2−x2;
- г) b2−a2−12a−36;
- д) 81a2+6bc−9b2−c2;
- е) b2c2−4bc−b2−c2+1.
Краткое решение
а) a2+b2−2ab−25= =(a2−2ab+b2)−25= =(a−b)2−52= =(a−b−5)(a−b+5); б) 36−b2−c2+2bc= =36−(b2−2bc+c2)= =62−(b−c)2= =(6−(b−c))(6+(b−c))= =(6−b+c)(6+b−c); в) 49−2ax−a2−x2= =49−(a2+2ax+x2)= =72−(a+x)2= =(7−(a+x))(7+(a+x))= =(7−a−x)(7+a+x); г) b2−a2−12a−36= =b2−(a2+12a+36)= =b2−(a+6)2= =(b−(a+6))(b+(a+6))= =(b−a−6)(b+a+6); д) 81a2+6bc−9b2−c2= =81a2−(9b2−6bc+c2)= =(9a)2−(3b−c)2= =(9a−(3b−c))(9a+(3b−c))= =(9a−3b+c)(9a+3b−c); е) b2c2−4bc−b2−c2+1= b2c2−2bc−2bc−b2−c2+1= =((bc)2−2bc+12)−(b2+2bc+c2)= =(bc−1)2−(b+c)2= =((bc−1)−(b+c))((bc−1)+(b+c))= =(bc−b−c−1)(bc+b+c−1). Подробное решение
📚 Теория: Выделение полного квадрата
Для разложения подобных многочленов на множители используется комбинация методов:
1. Группировка слагаемых: выделение трех членов, образующих квадрат двучлена (a±b)2=a2±2ab+b2.
2. Разность квадратов: применение формулы X2−Y2=(X−Y)(X+Y) к полученному выражению.
Разбор пункта б)
Для решения необходимо вынести знак «минус» за скобки у трех последних слагаемых, чтобы увидеть формулу полного квадрата:
36−(b2−2bc+c2)=62−(b−c)2 Затем раскладываем результат как разность квадратов двух выражений.
Разбор пункта д)
Сгруппируем слагаемые с переменными b и c, вынеся минус:
81a2−(9b2−6bc+c2)=(9a)2−(3b−c)2 Теперь применяем формулу разности квадратов для оснований 9a и 3b−c.
