Номер 1039 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Делится ли на 5 при любом целом $n$ выражение:

а) $(2 n + 3) (3 n - 7) - (n + 1) (n - 1)$ ;
б) $(7 n + 8) (n - 1) + (3 n - 2) (n + 2)$ ?

Краткое решение

а) (2 n + 3) (3 n - 7) - (n + 1) (n - 1) =

= (6 n^{2} - 14 n + 9 n - 21) - (n^{2} - 1) =

= 6 n^{2} - 5 n - 21 - n^{2} + 1 =

= 5 n^{2} - 5 n - 20 =

= 5 (n^{2} - n - 4) ⋮ 5 ⟹ Да .

б) (7 n + 8) (n - 1) + (3 n - 2) (n + 2) =

= (7 n^{2} - 7 n + 8 n - 8) + (3 n^{2} + 6 n - 2 n - 4) =

= 7 n^{2} + n - 8 + 3 n^{2} + 4 n - 4 =

= 10 n^{2} + 5 n - 12 =

= 5 (2 n^{2} + n) - 12 ⋮ 5 ⟹ Нет .

Подробное решение

📚 Теория: Признак делимости

Выражение делится на 5 при любом целом $n$ , если после упрощения его можно представить в виде $5 \cdot P (n)$ , где $P (n)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Если в результате остается свободное число, не кратное 5, выражение не делится на 5.

Разбор пункта а)

1. Раскроем скобки, перемножив многочлены:

(2 n \cdot 3 n - 2 n \cdot 7 + 3 \cdot 3 n - 3 \cdot 7) - (n^{2} - 1) = 6 n^{2} - 14 n + 9 n - 21 - n^{2} + 1

2. Приведем подобные слагаемые:

(6 n^{2} - n^{2}) + (- 14 n + 9 n) + (- 21 + 1) = 5 n^{2} - 5 n - 20

3. Вынесем общий множитель 5:

5 (n^{2} - n - 4)

Так как один из множителей равен 5, всё произведение делится на 5 при любом целом $n$ .

Разбор пункта б)

1. Выполним раскрытие скобок:

(7 n^{2} - 7 n + 8 n - 8) + (3 n^{2} + 6 n - 2 n - 4) = 7 n^{2} + n - 8 + 3 n^{2} + 4 n - 4

2. Упростим выражение:

10 n^{2} + 5 n - 12

3. Часть выражения $10 n^{2} + 5 n$ делится на 5, однако число $- 12$ на 5 не делится. Следовательно, всё выражение не кратно 5.