Номер 1037 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:

а) $x^{2} - 2 x y + y^{2} + a^{2}$ ;
б) $4 x^{2} + a^{2} - 4 x + 1$ ;
в) $9 b^{2} - 6 b + 4 c^{2} + 1$ ;

г) $a^{2} + 2 ab + 2 b^{2} + 2 b + 1$ ;
д) $x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x^{2} y^{2} + 1$ ;
е) $x^{2} + y^{2} + 2 x + 6 y + 10$ .

Краткое решение

а) x^{2} - 2 x y + y^{2} + a^{2} =

= (x - y)^{2} + a^{2} \geq 0

б) 4 x^{2} + a^{2} - 4 x + 1 =

= (4 x^{2} - 4 x + 1) + a^{2} =

= (2 x - 1)^{2} + a^{2} \geq 0

в) 9 b^{2} - 6 b + 4 c^{2} + 1 =

= (9 b^{2} - 6 b + 1) + 4 c^{2} =

= (3 b - 1)^{2} + (2 c)^{2} \geq 0

г) a^{2} + 2 ab + 2 b^{2} + 2 b + 1 =

= (a^{2} + 2 ab + b^{2}) + (b^{2} + 2 b + 1) =

= (a + b)^{2} + (b + 1)^{2} \geq 0

д) x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} + x^{2} y^{2} + 1 =

= (x - 2 y)^{2} + (x y)^{2} + 1 \geq 0

е) x^{2} + y^{2} + 2 x + 6 y + 10 =

= (x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} + 6 y + 9) =

= (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} \geq 0.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства квадрата

Для доказательства используется метод выделения полного квадрата. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ( $a^{2} \geq 0$ ). Сумма нескольких полных квадратов также всегда $\geq 0$ .

Разбор пунктов а) – в)

а) Первые три слагаемых образуют квадрат разности: $(x - y)^{2} + a^{2}$ . Так как оба слагаемых $\geq 0$ , их сумма также неотрицательна.

б) Сгруппируем $4 x^{2} - 4 x + 1$ , что дает $(2 x - 1)^{2}$ . Итоговое выражение: $(2 x - 1)^{2} + a^{2}$ .

в) Выделим квадрат относительно $b$ : $(3 b - 1)^{2} + (2 c)^{2}$ . Сумма двух квадратов всегда $\geq 0$ .

Разбор пунктов г) – е)

г) Разложим $2 b^{2}$ на $b^{2} + b^{2}$ . Получим две группы: $(a^{2} + 2 ab + b^{2})$ и $(b^{2} + 2 b + 1)$ , что равно $(a + b)^{2} + (b + 1)^{2}$ .

д) Первые три члена — это квадрат разности $(x - 2 y)^{2}$ . Прибавляем к нему $(x y)^{2}$ и $1$ . Выражение всегда $\geq 1$ .

е) Разложим число $10$ как $1 + 9$ . Сгруппируем: $(x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} + 6 y + 9) = (x + 1)^{2} + (y + 3)^{2}$ .