Представьте в виде произведения:
- а) x3+y3+2x2−2xy+2y2;
- б) a3−b3+3a2+3ab+3b2;
- в) a4+ab3−a3b−b4;
- г) x4+x3y−xy3−y4;
Краткое решение
а) x3+y3+2x2−2xy+2y2=
=(x+y)(x2−xy+y2)+2(x2−xy+y2)=
=(x2−xy+y2)(x+y+2);
б) a3−b3+3a2+3ab+3b2=
=(a−b)(a2+ab+b2)+3(a2+ab+b2)=
=(a2+ab+b2)(a−b+3);
в) a4+ab3−a3b−b4=
=a3(a−b)−b3(a−b)=
=(a−b)(a3−b3)=
=(a−b)(a−b)(a2+ab+b2)=
=(a−b)2(a2+ab+b2);
г) x4+x3y−xy3−y4=
=x3(x+y)−y3(x+y)=
=(x+y)(x3−y3)=
=(x+y)(x−y)(x2+xy+y2).
Подробное решение
📚 Теория: Группировка и формулы кубов
Для разложения данных многочленов:
1. Используйте формулы суммы и разности кубов для выделения общего неполного квадрата.
2. Применяйте метод группировки слагаемых парами для вынесения общих множителей.
3. Помните, что a4−b4 раскладывается как разность квадратов.
Разбор пункта а)
Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы кубов:
(x3+y3)+(2x2−2xy+2y2)=(x+y)(x2−xy+y2)+2(x2−xy+y2)
Заметим, что неполный квадрат разности (x2−xy+y2) является общим множителем. Вынесем его:
(x2−xy+y2)(x+y+2)
Разбор пункта б)
Аналогично пункту «а», разложим разность кубов и вынесем общий множитель 3:
(a3−b3)+(3a2+3ab+3b2)=(a−b)(a2+ab+b2)+3(a2+ab+b2)
Выносим неполный квадрат суммы (a2+ab+b2) за скобки:
(a2+ab+b2)(a−b+3)
Разбор пункта в)
Выполним группировку первого с третьим и второго с четвертым слагаемыми:
(a4−a3b)+(ab3−b4)=a3(a−b)+b3(a−b)
Вынесем общую скобку (a−b) и разложим полученную разность кубов:
(a−b)(a3+b3)=(a−b)(a+b)(a2−ab+b2)
Разбор пункта г)
Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было вынести x3 и y3:
(x4+x3y)−(xy3+y4)=x3(x+y)−y3(x+y)
Вынесем множитель (x+y) и применим разность кубов к (x3−y3):
(x+y)(x−y)(x2+xy+y2)
