Номер 1033 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители:

а) $a^{2} - b^{2} + 2 (a + b)^{2}$ ;
б) $b^{2} - c^{2} - 10 (b - c)^{2}$ ;

в) $2 (x - y)^{2} + 3 x^{2} - 3 y^{2}$ ;
г) $5 a^{2} - 5 - 4 (a + 1)^{2}$ .

Краткое решение

а) a^{2} - b^{2} + 2 (a + b)^{2} =

= (a - b) (a + b) + 2 (a + b) (a + b) =

= (a + b) (a - b + 2 (a + b)) =

= (a + b) (a - b + 2 a + 2 b) =

= (a + b) (3 a + b);

б) b^{2} - c^{2} - 10 (b - c)^{2} =

= (b - c) (b + c) - 10 (b - c) (b - c) =

= (b - c) (b + c - 10 (b - c)) =

= (b - c) (b + c - 10 b + 10 c) =

= (b - c) (11 c - 9 b);

в) 2 (x - y)^{2} + 3 x^{2} - 3 y^{2} =

= 2 (x - y)^{2} + 3 (x^{2} - y^{2}) =

= 2 (x - y) (x - y) + 3 (x - y) (x + y) =

= (x - y) (2 (x - y) + 3 (x + y)) =

= (x - y) (2 x - 2 y + 3 x + 3 y) =

= (x - y) (5 x + y);

г) 5 a^{2} - 5 - 4 (a + 1)^{2} =

= 5 (a^{2} - 1) - 4 (a + 1) (a + 1) =

= 5 (a - 1) (a + 1) - 4 (a + 1) (a + 1) =

= (a + 1) (5 (a - 1) - 4 (a + 1)) =

= (a + 1) (5 a - 5 - 4 a - 4) =

= (a + 1) (a - 9) .

Подробное решение

📚 Теория: Комбинированные способы разложения

Для решения этих примеров используется последовательность методов:
1. Разность квадратов: разложение части выражения по формуле $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ .
2. Вынесение общего множителя: вынесение целого выражения (скобки) за скобки.
3. Упрощение: приведение подобных слагаемых внутри вторых скобок.

Разбор пункта а)

Сначала разложим разность квадратов $a^{2} - b^{2}$ на произведение двух скобок.
Заметим, что в обоих слагаемых теперь есть общий множитель $(a + b)$ .
Вынесем этот множитель за скобки и раскроем внутренние скобки для упрощения.
После приведения подобных слагаемых $a + 2 a$ и $- b + 2 b$ получаем окончательный ответ.

Разбор пункта г)

В первой части выражения $5 a^{2} - 5$ вынесем общий множитель $5$ и применим разность квадратов.
Теперь вынесем за скобки общую скобку $(a + 1)$ .
Во второй скобке выполним умножение на коэффициенты и приведем подобные слагаемые.
Получаем произведение линейных множителей $(a + 1) (a - 9)$ .