Номер 1030 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарыchev

Решите уравнение:

а) $x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0$ ;

в) $2 y^{3} - y^{2} - 32 y + 16 = 0$ ;

б) $y^{3} - y^{2} = 16 y - 16$ ;

г) $4 x^{3} - 3 x^{2} = 4 x - 3$ .

Краткое решение

а) x^{3} - 2 x^{2} - x + 2 = 0 ⟹ x^{2} (x - 2) - (x - 2) = 0 ⟹ (x - 2) (x - 1) (x + 1) = 0 ⟹ x = 2; \pm 1

б) y^{3} - y^{2} - 16 y + 16 = 0 ⟹ y^{2} (y - 1) - 16 (y - 1) = 0 ⟹ (y - 1) (y - 4) (y + 4) = 0 ⟹ y = 1; \pm 4

в) 2 y^{3} - y^{2} - 32 y + 16 = 0 ⟹ y^{2} (2 y - 1) - 16 (2 y - 1) = 0 ⟹ (2 y - 1) (y - 4) (y + 4) = 0 ⟹ y = 0, 5; \pm 4

г) 4 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 3 = 0 ⟹ x^{2} (4 x - 3) - (4 x - 3) = 0 ⟹ (4 x - 3) (x - 1) (x + 1) = 0 ⟹ x = 0, 75; \pm 1

Подробное решение

📚 Теория: Свойства равенства произведения нулю

При решении уравнений методом разложения на множители:
1. Сгруппируйте слагаемые так, чтобы вынести общую скобку.
2. Полученные квадратные двучлены разложите по формуле разности квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
3. Помните, что уравнение $n$ -й степени может иметь до $n$ действительных корней.

Решение пункта а)

Выполним группировку:

x^{2} (x - 2) - 1 (x - 2) = 0

(x - 2) (x^{2} - 1) = 0 ⟹ (x - 2) (x - 1) (x + 1) = 0

Корни: $x = 2; 1; - 1$ .

Решение пункта б)

Перенесем слагаемые влево:

y^{3} - y^{2} - 16 y + 16 = 0

y^{2} (y - 1) - 16 (y - 1) = 0

(y - 1) (y^{2} - 16) = 0 ⟹ (y - 1) (y - 4) (y + 4) = 0

Ответ: $y = 1; y = 4; y = - 4$ .

Решение пункта в)

Группируем первое со вторым и третье с четвертым:

y^{2} (2 y - 1) - 16 (2 y - 1) = 0

(2 y - 1) (y^{2} - 16) = 0 ⟹ (2 y - 1) (y - 4) (y + 4) = 0

Корни: $y = 0, 5; y = 4; y = - 4$ .

Решение пункта г)

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

x^{2} (4 x - 3) - 1 (4 x - 3) = 0

(4 x - 3) (x^{2} - 1) = 0 ⟹ (4 x - 3) (x - 1) (x + 1) = 0

Ответ: $x = 0, 75; x = 1; x = - 1$ .