Номер 1035 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители:

а) $x^{3} + y^{3} + 2 x y (x + y)$ ;
б) $x^{3} - y^{3} - 5 x (x^{2} + x y + y^{2})$ ;
в) $2 b^{3} + a (a^{2} - 3 b^{2})$ ;

г) $p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 1$ ;
д) $8 b^{3} + 6 b^{2} + 3 b + 1$ ;
е) $a^{3} - 4 a^{2} + 20 a - 125$ .

Краткое решение

а) x^{3} + y^{3} + 2 x y (x + y) =

= (x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + 2 x y (x + y) =

= (x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 2 x y) =

= (x + y) (x^{2} + x y + y^{2});

б) x^{3} - y^{3} - 5 x (x^{2} + x y + y^{2}) =

= (x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) - 5 x (x^{2} + x y + y^{2}) =

= (x^{2} + x y + y^{2}) (x - y - 5 x) =

= (x^{2} + x y + y^{2}) (- 4 x - y);

в) 2 b^{3} + a (a^{2} - 3 b^{2}) =

= a^{3} - 3 a b^{2} + 2 b^{3} =

= a^{3} - a b^{2} - 2 a b^{2} + 2 b^{3} =

= a (a^{2} - b^{2}) - 2 b^{2} (a - b) =

= (a - b) (a (a + b) - 2 b^{2}) =

= (a - b) (a^{2} + ab - 2 b^{2}) =

= (a - b) (a - b) (a + 2 b) =

= (a - b)^{2} (a + 2 b);

г) p^{3} - 2 p^{2} + 2 p - 1 =

= (p^{3} - 1) - (2 p^{2} - 2 p) =

= (p - 1) (p^{2} + p + 1) - 2 p (p - 1) =

= (p - 1) (p^{2} + p + 1 - 2 p) =

= (p - 1) (p^{2} - p + 1);

д) 8 b^{3} + 6 b^{2} + 3 b + 1 =

= (8 b^{3} + 1) + (6 b^{2} + 3 b) =

= (2 b + 1) (4 b^{2} - 2 b + 1) + 3 b (2 b + 1) =

= (2 b + 1) (4 b^{2} - 2 b + 1 + 3 b) =

= (2 b + 1) (4 b^{2} + b + 1);

е) a^{3} - 4 a^{2} + 20 a - 125 =

= (a^{3} - 125) - (4 a^{2} - 20 a) =

= (a - 5) (a^{2} + 5 a + 25) - 4 a (a - 5) =

= (a - 5) (a^{2} + 5 a + 25 - 4 a) =

= (a - 5) (a^{2} + a + 25) .

Подробное решение

📚 Теория: Разложение через кубы и группировку

Для решения данных примеров используется комбинация формул суммы/разности кубов и метода группировки:
1. Сумма/разность кубов: $a^{3} \pm b^{3} = (a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$ .
2. Группировка: выделение общего множителя (целого выражения в скобках) для его вынесения.

Разбор пункта а)

Разложим $x^{3} + y^{3}$ по формуле суммы кубов:

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2}) + 2 x y (x + y)

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки и упростим выражение во второй скобке:

(x + y) (x^{2} - x y + y^{2} + 2 x y) = (x + y) (x^{2} + x y + y^{2})

Разбор пункта б)

Применим формулу разности кубов к $x^{3} - y^{3}$ :

(x - y) (x^{2} + x y + y^{2}) - 5 x (x^{2} + x y + y^{2})

Вынесем общий неполный квадрат $(x^{2} + x y + y^{2})$ за скобки:

(x^{2} + x y + y^{2}) (x - y - 5 x) = (x^{2} + x y + y^{2}) (- 4 x - y)

Разбор пункта в)

Раскроем скобки: $2 b^{3} + a^{3} - 3 a b^{2}$ . Перепишем как $a^{3} - 3 a b^{2} + 2 b^{3}$ .

Разложим $- 3 a b^{2}$ на $- a b^{2} - 2 a b^{2}$ для группировки:

(a^{3} - a b^{2}) - (2 a b^{2} - 2 b^{3}) = a (a^{2} - b^{2}) - 2 b^{2} (a - b) =

= a (a - b) (a + b) - 2 b^{2} (a - b) = (a - b) (a^{2} + ab - 2 b^{2})

Разложим квадратный трехчлен в скобках:

(a - b) (a - b) (a + 2 b) = (a - b)^{2} (a + 2 b)

Разбор пункта г)

Сгруппируем кубы и линейные слагаемые:

(p^{3} - 1) - (2 p^{2} - 2 p) = (p - 1) (p^{2} + p + 1) - 2 p (p - 1)

Вынесем общую скобку $(p - 1)$ и упростим результат:

(p - 1) (p^{2} + p + 1 - 2 p) = (p - 1) (p^{2} - p + 1)

Разбор пункта д)

Сгруппируем $8 b^{3} + 1$ и $6 b^{2} + 3 b$ :

(2 b + 1) (4 b^{2} - 2 b + 1) + 3 b (2 b + 1)

Вынесем множитель $(2 b + 1)$ :

(2 b + 1) (4 b^{2} - 2 b + 1 + 3 b) = (2 b + 1) (4 b^{2} + b + 1)

Разбор пункта е)

Сгруппируем $a^{3} - 125$ и $- 4 a^{2} + 20 a$ :

(a - 5) (a^{2} + 5 a + 25) - 4 a (a - 5)

Вынесем множитель $(a - 5)$ и приведем подобные:

(a - 5) (a^{2} + 5 a + 25 - 4 a) = (a - 5) (a^{2} + a + 25)