Номер 1029 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарыchev

Решите уравнение:

а) $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0$ ;

в) $y^{3} - 6 y^{2} = 6 - y$ ;

б) $2 m^{3} - m^{2} - 18 m + 9 = 0$ ;

г) $2 a^{3} + 3 a^{2} = 2 a + 3$ .

Краткое решение

а) x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12 = 0 ⟹ x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3) = 0 ⟹ (x + 3) (x - 2) (x + 2) = 0 ⟹ x = - 3; \pm 2

б) 2 m^{3} - m^{2} - 18 m + 9 = 0 ⟹ m^{2} (2 m - 1) - 9 (2 m - 1) = 0 ⟹ (2 m - 1) (m - 3) (m + 3) = 0 ⟹ m = 0, 5; \pm 3

в) y^{3} - 6 y^{2} + y - 6 = 0 ⟹ y^{2} (y - 6) + (y - 6) = 0 ⟹ (y - 6) (y^{2} + 1) = 0 ⟹ y = 6

г) 2 a^{3} + 3 a^{2} - 2 a - 3 = 0 ⟹ a^{2} (2 a + 3) - (2 a + 3) = 0 ⟹ (2 a + 3) (a - 1) (a + 1) = 0 ⟹ a = - 1, 5; \pm 1

Подробное решение

📚 Теория: Решение методом группировки

Для решения уравнений такого типа:
1. Перенесите все слагаемые в левую часть, чтобы справа остался нуль.
2. Разложите левую часть на множители (обычно через группировку).
3. Используйте свойство: произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Решение пункта а)

Сгруппируем слагаемые попарно:

(x^{3} + 3 x^{2}) - (4 x + 12) = 0

x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3) = 0

(x + 3) (x^{2} - 4) = 0

Разложим разность квадратов:

(x + 3) (x - 2) (x + 2) = 0

Корни уравнения: $x_{1} = - 3, x_{2} = 2, x_{3} = - 2$ .

Решение пункта б)

Вынесем $m^{2}$ из первой пары и $9$ из второй:

m^{2} (2 m - 1) - 9 (2 m - 1) = 0

(2 m - 1) (m^{2} - 9) = 0

(2 m - 1) (m - 3) (m + 3) = 0

Ответ: $m = 0, 5; m = 3; m = - 3$ .

Решение пункта в)

Перенесем всё влево: $y^{3} - 6 y^{2} + y - 6 = 0$ .

y^{2} (y - 6) + 1 (y - 6) = 0

(y - 6) (y^{2} + 1) = 0

Так как $y^{2} + 1$ всегда больше нуля, то $y - 6 = 0$ .

Корень: $y = 6$ .

Решение пункта г)

Перенесем слагаемые: $2 a^{3} + 3 a^{2} - 2 a - 3 = 0$ .

a^{2} (2 a + 3) - 1 (2 a + 3) = 0

(2 a + 3) (a^{2} - 1) = 0

Корни: $a = - 1, 5; a = 1; a = - 1$ .