Номер 1028 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Преобразуйте в произведение:

а) $3 a^{3} - 3 a b^{2} + a^{2} b - b^{3}$ ;

в) $3 p - 2 c^{3} - 3 c^{3} p + 2$ ;

б) $2 x - a^{2} y - 2 a^{2} x + y$ ;

г) $a^{4} - 24 + 8 a - 3 a^{3}$ .

Краткое решение

а) 3 a^{3} - 3 a b^{2} + a^{2} b - b^{3} = 3 a (a^{2} - b^{2}) + b (a^{2} - b^{2}) = (a^{2} - b^{2}) (3 a + b) = (a - b) (a + b) (3 a + b)

б) 2 x - a^{2} y - 2 a^{2} x + y = (2 x + y) - (a^{2} y + 2 a^{2} x) = (2 x + y) (1 - a^{2}) = (2 x + y) (1 - a) (1 + a)

в) 3 p - 2 c^{3} - 3 c^{3} p + 2 = (3 p + 2) - (2 c^{3} + 3 c^{3} p) = (3 p + 2) (1 - c^{3}) = (3 p + 2) (1 - c) (1 + c + c^{2})

г) a^{4} - 24 + 8 a - 3 a^{3} = (a^{4} - 3 a^{3}) + (8 a - 24) = a^{3} (a - 3) + 8 (a - 3) = (a - 3) (a + 2) (a^{2} - 2 a + 4)

Подробное решение

📚 Теория: Комбинированное разложение

Для решения задания применяется последовательность методов:
1. Группировка слагаемых: выделение пар с общим множителем.
2. Формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^{2} - b^{2}$ или сумма/разность кубов $a^{3} \pm b^{3}$ .

Решение пункта а)

Группируем слагаемые с коэффициентом 3 и без него:

3 a (a^{2} - b^{2}) + b (a^{2} - b^{2}) = (a^{2} - b^{2}) (3 a + b)

Применяем формулу разности квадратов:

(a - b) (a + b) (3 a + b)

Решение пункта б)

Сгруппируем $2 x + y$ и вынесем $- a^{2}$ из остальных слагаемых:

(2 x + y) - a^{2} (y + 2 x) = (2 x + y) (1 - a^{2})

Разложим скобку с $a^{2}$ :

(2 x + y) (1 - a) (1 + a)

Решение пункта в)

Сгруппируем пары так, чтобы получить общую скобку $(3 p + 2)$ :

(3 p + 2) - (2 c^{3} + 3 c^{3} p) = (3 p + 2) - c^{3} (2 + 3 p) = (3 p + 2) (1 - c^{3})

Используем формулу разности кубов для $1 - c^{3}$ :

(3 p + 2) (1 - c) (1 + c + c^{2})

Решение пункта г)

Переставим слагаемые для удобной группировки:

(a^{4} - 3 a^{3}) + (8 a - 24) = a^{3} (a - 3) + 8 (a - 3) = (a - 3) (a^{3} + 8)

Разложим $a^{3} + 8$ как сумму кубов $a^{3} + 2^{3}$ :

(a - 3) (a + 2) (a^{2} - 2 a + 4)