Преобразуйте в произведение выражение:
- а) a2+b2−2ab−25;
- б) 36−b2−c2+2bc;
- в) 49−2ax−a2−x2;
- г) b2−a2−12a−36;
- д) 81a2+6bc−9b2−c2;
- е) b2c2−4bc−b2−c2+1.
Краткое решение
а) a2+b2−2ab−25=
=(a2−2ab+b2)−25=
=(a−b)2−52=
=(a−b−5)(a−b+5);
б) 36−b2−c2+2bc=
=36−(b2−2bc+c2)=
=62−(b−c)2=
=(6−(b−c))(6+(b−c))=
=(6−b+c)(6+b−c);
в) 49−2ax−a2−x2=
=49−(a2+2ax+x2)=
=72−(a+x)2=
=(7−(a+x))(7+(a+x))=
=(7−a−x)(7+a+x);
г) b2−a2−12a−36=
=b2−(a2+12a+36)=
=b2−(a+6)2=
=(b−(a+6))(b+(a+6))=
=(b−a−6)(b+a+6);
д) 81a2+6bc−9b2−c2=
=81a2−(9b2−6bc+c2)=
=(9a)2−(3b−c)2=
=(9a−(3b−c))(9a+(3b−c))=
=(9a−3b+c)(9a+3b−c);
е) b2c2−4bc−b2−c2+1=
b2c2−2bc−2bc−b2−c2+1=
=((bc)2−2bc+12)−(b2+2bc+c2)=
=(bc−1)2−(b+c)2=
=((bc−1)−(b+c))((bc−1)+(b+c))=
=(bc−b−c−1)(bc+b+c−1).
Подробное решение
📚 Теория: Выделение полного квадрата
Для разложения подобных многочленов на множители используется комбинация методов:
1. Группировка слагаемых: выделение трех членов, образующих квадрат двучлена (a±b)2=a2±2ab+b2.
2. Разность квадратов: применение формулы X2−Y2=(X−Y)(X+Y) к полученному выражению.
Разбор пункта б)
Для решения необходимо вынести знак «минус» за скобки у трех последних слагаемых, чтобы увидеть формулу полного квадрата:
36−(b2−2bc+c2)=62−(b−c)2
Затем раскладываем результат как разность квадратов двух выражений.
Разбор пункта д)
Сгруппируем слагаемые с переменными b и c, вынеся минус:
81a2−(9b2−6bc+c2)=(9a)2−(3b−c)2
Теперь применяем формулу разности квадратов для оснований 9a и 3b−c.
