Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1035

Номер 1035 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители:

  • а) x3+y3+2xy(x+y)x^3 + y^3 + 2xy(x + y);
  • б) x3−y3−5x(x2+xy+y2)x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2);
  • в) 2b3+a(a2−3b2)2b^3 + a(a^2 - 3b^2);
  • г) p3−2p2+2p−1p^3 - 2p^2 + 2p - 1;
  • д) 8b3+6b2+3b+18b^3 + 6b^2 + 3b + 1;
  • е) a3−4a2+20a−125a^3 - 4a^2 + 20a - 125.

Краткое решение

а) x3+y3+2xy(x+y)=\text{а) } x^3 + y^3 + 2xy(x + y) =
=(x+y)(x2−xy+y2)+2xy(x+y)== (x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y) =
=(x+y)(x2−xy+y2+2xy)== (x + y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy) =
=(x+y)(x2+xy+y2);= (x + y)(x^2 + xy + y^2);
б) x3−y3−5x(x2+xy+y2)=\text{б) } x^3 - y^3 - 5x(x^2 + xy + y^2) =
=(x−y)(x2+xy+y2)−5x(x2+xy+y2)== (x - y)(x^2 + xy + y^2) - 5x(x^2 + xy + y^2) =
=(x2+xy+y2)(x−y−5x)== (x^2 + xy + y^2)(x - y - 5x) =
=(x2+xy+y2)(−4x−y);= (x^2 + xy + y^2)(-4x - y);
в) 2b3+a(a2−3b2)=\text{в) } 2b^3 + a(a^2 - 3b^2) =
=a3−3ab2+2b3== a^3 - 3ab^2 + 2b^3 =
=a3−ab2−2ab2+2b3== a^3 - ab^2 - 2ab^2 + 2b^3 =
=a(a2−b2)−2b2(a−b)== a(a^2 - b^2) - 2b^2(a - b) =
=(a−b)(a(a+b)−2b2)== (a - b)(a(a + b) - 2b^2) =
=(a−b)(a2+ab−2b2)== (a - b)(a^2 + ab - 2b^2) =
=(a−b)(a−b)(a+2b)== (a - b)(a - b)(a + 2b) =
=(a−b)2(a+2b);= (a - b)^2(a + 2b);
г) p3−2p2+2p−1=\text{г) } p^3 - 2p^2 + 2p - 1 =
=(p3−1)−(2p2−2p)== (p^3 - 1) - (2p^2 - 2p) =
=(p−1)(p2+p+1)−2p(p−1)== (p - 1)(p^2 + p + 1) - 2p(p - 1) =
=(p−1)(p2+p+1−2p)== (p - 1)(p^2 + p + 1 - 2p) =
=(p−1)(p2−p+1);= (p - 1)(p^2 - p + 1);
д) 8b3+6b2+3b+1=\text{д) } 8b^3 + 6b^2 + 3b + 1 =
=(8b3+1)+(6b2+3b)== (8b^3 + 1) + (6b^2 + 3b) =
=(2b+1)(4b2−2b+1)+3b(2b+1)== (2b + 1)(4b^2 - 2b + 1) + 3b(2b + 1) =
=(2b+1)(4b2−2b+1+3b)== (2b + 1)(4b^2 - 2b + 1 + 3b) =
=(2b+1)(4b2+b+1);= (2b + 1)(4b^2 + b + 1);
е) a3−4a2+20a−125=\text{е) } a^3 - 4a^2 + 20a - 125 =
=(a3−125)−(4a2−20a)== (a^3 - 125) - (4a^2 - 20a) =
=(a−5)(a2+5a+25)−4a(a−5)== (a - 5)(a^2 + 5a + 25) - 4a(a - 5) =
=(a−5)(a2+5a+25−4a)== (a - 5)(a^2 + 5a + 25 - 4a) =
=(a−5)(a2+a+25).= (a - 5)(a^2 + a + 25).

Подробное решение

📚 Теория: Разложение через кубы и группировку

Для решения данных примеров используется комбинация формул суммы/разности кубов и метода группировки:
1. Сумма/разность кубов: a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2).
2. Группировка: выделение общего множителя (целого выражения в скобках) для его вынесения.

Разбор пункта а)

Разложим x3+y3x^3 + y^3 по формуле суммы кубов:

(x+y)(x2−xy+y2)+2xy(x+y)(x + y)(x^2 - xy + y^2) + 2xy(x + y)

Вынесем общий множитель (x+y)(x + y) за скобки и упростим выражение во второй скобке:

(x+y)(x2−xy+y2+2xy)=(x+y)(x2+xy+y2)(x + y)(x^2 - xy + y^2 + 2xy) = (x + y)(x^2 + xy + y^2)

Разбор пункта б)

Применим формулу разности кубов к x3−y3x^3 - y^3:

(x−y)(x2+xy+y2)−5x(x2+xy+y2)(x - y)(x^2 + xy + y^2) - 5x(x^2 + xy + y^2)

Вынесем общий неполный квадрат (x2+xy+y2)(x^2 + xy + y^2) за скобки:

(x2+xy+y2)(x−y−5x)=(x2+xy+y2)(−4x−y)(x^2 + xy + y^2)(x - y - 5x) = (x^2 + xy + y^2)(-4x - y)

Разбор пункта в)

Раскроем скобки: 2b3+a3−3ab22b^3 + a^3 - 3ab^2. Перепишем как a3−3ab2+2b3a^3 - 3ab^2 + 2b^3.

Разложим −3ab2-3ab^2 на −ab2−2ab2-ab^2 - 2ab^2 для группировки:

(a3−ab2)−(2ab2−2b3)=a(a2−b2)−2b2(a−b)=(a^3 - ab^2) - (2ab^2 - 2b^3) = a(a^2 - b^2) - 2b^2(a - b) =
=a(a−b)(a+b)−2b2(a−b)=(a−b)(a2+ab−2b2)= a(a - b)(a + b) - 2b^2(a - b) = (a - b)(a^2 + ab - 2b^2)

Разложим квадратный трехчлен в скобках:

(a−b)(a−b)(a+2b)=(a−b)2(a+2b)(a - b)(a - b)(a + 2b) = (a - b)^2(a + 2b)

Разбор пункта г)

Сгруппируем кубы и линейные слагаемые:

(p3−1)−(2p2−2p)=(p−1)(p2+p+1)−2p(p−1)(p^3 - 1) - (2p^2 - 2p) = (p - 1)(p^2 + p + 1) - 2p(p - 1)

Вынесем общую скобку (p−1)(p - 1) и упростим результат:

(p−1)(p2+p+1−2p)=(p−1)(p2−p+1)(p - 1)(p^2 + p + 1 - 2p) = (p - 1)(p^2 - p + 1)

Разбор пункта д)

Сгруппируем 8b3+18b^3 + 1 и 6b2+3b6b^2 + 3b:

(2b+1)(4b2−2b+1)+3b(2b+1)(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1) + 3b(2b + 1)

Вынесем множитель (2b+1)(2b + 1):

(2b+1)(4b2−2b+1+3b)=(2b+1)(4b2+b+1)(2b + 1)(4b^2 - 2b + 1 + 3b) = (2b + 1)(4b^2 + b + 1)

Разбор пункта е)

Сгруппируем a3−125a^3 - 125 и −4a2+20a-4a^2 + 20a:

(a−5)(a2+5a+25)−4a(a−5)(a - 5)(a^2 + 5a + 25) - 4a(a - 5)

Вынесем множитель (a−5)(a - 5) и приведем подобные:

(a−5)(a2+5a+25−4a)=(a−5)(a2+a+25)(a - 5)(a^2 + 5a + 25 - 4a) = (a - 5)(a^2 + a + 25)

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...