Номер 1037 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что многочлен принимает лишь неотрицательные значения:

а) $x^2 - 2xy + y^2 + a^2$ ;
б) $4x^2 + a^2 - 4x + 1$ ;
в) $9b^2 - 6b + 4c^2 + 1$ ;

г) $a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1$ ;
д) $x^2 - 4xy + 4y^2 + x^2y^2 + 1$ ;
е) $x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10$ .

Краткое решение

\text{а) } x^2 - 2xy + y^2 + a^2 =

= (x - y)^2 + a^2 \ge 0

\text{б) } 4x^2 + a^2 - 4x + 1 =

= (4x^2 - 4x + 1) + a^2 =

= (2x - 1)^2 + a^2 \ge 0

\text{в) } 9b^2 - 6b + 4c^2 + 1 =

= (9b^2 - 6b + 1) + 4c^2 =

= (3b - 1)^2 + (2c)^2 \ge 0

\text{г) } a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b + 1 =

= (a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2b + 1) =

= (a + b)^2 + (b + 1)^2 \ge 0

\text{д) } x^2 - 4xy + 4y^2 + x^2y^2 + 1 =

= (x - 2y)^2 + (xy)^2 + 1 \ge 0

\text{е) } x^2 + y^2 + 2x + 6y + 10 =

= (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) =

= (x + 1)^2 + (y + 3)^2 \ge 0.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства квадрата

Для доказательства используется метод выделения полного квадрата. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ( $a^2 \ge 0$ ). Сумма нескольких полных квадратов также всегда $\ge 0$ .

Разбор пунктов а) – в)

а) Первые три слагаемых образуют квадрат разности: $(x - y)^2 + a^2$ . Так как оба слагаемых $\ge 0$ , их сумма также неотрицательна.

б) Сгруппируем $4x^2 - 4x + 1$ , что дает $(2x - 1)^2$ . Итоговое выражение: $(2x - 1)^2 + a^2$ .

в) Выделим квадрат относительно $b$ : $(3b - 1)^2 + (2c)^2$ . Сумма двух квадратов всегда $\ge 0$ .

Разбор пунктов г) – е)

г) Разложим $2b^2$ на $b^2 + b^2$ . Получим две группы: $(a^2 + 2ab + b^2)$ и $(b^2 + 2b + 1)$ , что равно $(a + b)^2 + (b + 1)^2$ .

д) Первые три члена — это квадрат разности $(x - 2y)^2$ . Прибавляем к нему $(xy)^2$ и $1$ . Выражение всегда $\ge 1$ .

е) Разложим число $10$ как $1 + 9$ . Сгруппируем: $(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) = (x + 1)^2 + (y + 3)^2$ .