Выражение делится на 5 при любом целом n, если после упрощения его можно представить в виде 5⋅P(n), где P(n) — многочлен с целыми коэффициентами. Если в результате остается свободное число, не кратное 5, выражение не делится на 5.
Разбор пункта а)
1. Раскроем скобки, перемножив многочлены:
(2n⋅3n−2n⋅7+3⋅3n−3⋅7)−(n2−1)=6n2−14n+9n−21−n2+1
2. Приведем подобные слагаемые:
(6n2−n2)+(−14n+9n)+(−21+1)=5n2−5n−20
3. Вынесем общий множитель 5:
5(n2−n−4)
Так как один из множителей равен 5, всё произведение делится на 5 при любом целом n.
Разбор пункта б)
1. Выполним раскрытие скобок:
(7n2−7n+8n−8)+(3n2+6n−2n−4)=7n2+n−8+3n2+4n−4
2. Упростим выражение:
10n2+5n−12
3. Часть выражения 10n2+5n делится на 5, однако число −12 на 5 не делится. Следовательно, всё выражение не кратно 5.
