Номер 1039 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Делится ли на 5 при любом целом $n$ выражение:

а) $(2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1)$ ;
б) $(7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2)$ ?

Краткое решение

\text{а) } (2n + 3)(3n - 7) - (n + 1)(n - 1) =

= (6n^2 - 14n + 9n - 21) - (n^2 - 1) =

= 6n^2 - 5n - 21 - n^2 + 1 =

= 5n^2 - 5n - 20 =

= 5(n^2 - n - 4) \vdots 5 \implies \text{Да.}

\text{б) } (7n + 8)(n - 1) + (3n - 2)(n + 2) =

= (7n^2 - 7n + 8n - 8) + (3n^2 + 6n - 2n - 4) =

= 7n^2 + n - 8 + 3n^2 + 4n - 4 =

= 10n^2 + 5n - 12 =

= 5(2n^2 + n) - 12 \cancel{\vdots} 5 \implies \text{Нет.}

Подробное решение

📚 Теория: Признак делимости

Выражение делится на 5 при любом целом $n$ , если после упрощения его можно представить в виде $5 \cdot P(n)$ , где $P(n)$ — многочлен с целыми коэффициентами. Если в результате остается свободное число, не кратное 5, выражение не делится на 5.

Разбор пункта а)

1. Раскроем скобки, перемножив многочлены:

(2n \cdot 3n - 2n \cdot 7 + 3 \cdot 3n - 3 \cdot 7) - (n^2 - 1) = 6n^2 - 14n + 9n - 21 - n^2 + 1

2. Приведем подобные слагаемые:

(6n^2 - n^2) + (-14n + 9n) + (-21 + 1) = 5n^2 - 5n - 20

3. Вынесем общий множитель 5:

5(n^2 - n - 4)

Так как один из множителей равен 5, всё произведение делится на 5 при любом целом $n$ .

Разбор пункта б)

1. Выполним раскрытие скобок:

(7n^2 - 7n + 8n - 8) + (3n^2 + 6n - 2n - 4) = 7n^2 + n - 8 + 3n^2 + 4n - 4

2. Упростим выражение:

10n^2 + 5n - 12

3. Часть выражения $10n^2 + 5n$ делится на 5, однако число $-12$ на 5 не делится. Следовательно, всё выражение не кратно 5.