(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:
а) {x=6y−1,2x−10y=3; б) {5x+y=4,x+y−6=0; в) {12x−3y=5,6y−24x=−10. Краткое решение
а)
{x=6y−1,2x−10y=3; {6y=x+1,10y=2x−3; {y=61x+61,y=0,2x−0,3. Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
б)
{5x+y=4,x+y−6=0; {y=4−5x,y=−x+6. Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.
в)
{12x−3y=5,6y−24x=−10. {3y=12x−5,6y=24x−10; {y=4x−132,y=4x−132. Уравнения совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.
Подробное решение
📚 Теория: Определение количества решений
При сравнении двух линейных функций y=k1x+b1 и y=k2x+b2:
1. Если k1=k2, прямые пересекаются — единственное решение.
2. Если k1=k2,b1=b2, прямые параллельны — решений нет.
3. Если k1=k2,b1=b2, прямые совпадают — бесконечно много решений.
Как анализировать количество решений?
Для того чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно привести каждое уравнение системы к стандартному виду y=kx+b, где k — угловой коэффициент.
- Пункт а: В первом уравнении k=1/6≈0,16, во втором k=0,2. Так как наклоны прямых разные, они пересекутся в одной точке.
- Пункт б: У первой прямой наклон −5, у второй −1. Разные коэффициенты гарантируют единственную точку пересечения.
- Пункт в: После приведения к виду y=4x−1,66... мы видим, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что любая точка этой прямой является решением системы.
