Главная / 7 класс / Алгебра Макарычев / Номер 1079

Номер 1079 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

(Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

а) {x=6y−1,2x−10y=3;\text{а) } \begin{cases} x = 6y - 1, \\ 2x - 10y = 3; \end{cases} б) {5x+y=4,x+y−6=0;\text{б) } \begin{cases} 5x + y = 4, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases} в) {12x−3y=5,6y−24x=−10.\text{в) } \begin{cases} 12x - 3y = 5, \\ 6y - 24x = -10. \end{cases}

Краткое решение

а)

{x=6y−1,2x−10y=3;\begin{cases} x = 6y - 1, \\ 2x - 10y = 3; \end{cases}
{6y=x+1,10y=2x−3;\begin{cases} 6y = x + 1, \\ 10y = 2x - 3; \end{cases}
{y=16x+16,y=0,2x−0,3.\begin{cases} y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{6}, \\ y = 0,2x - 0,3. \end{cases}

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

б)

{5x+y=4,x+y−6=0;\begin{cases} 5x + y = 4, \\ x + y - 6 = 0; \end{cases}
{y=4−5x,y=−x+6.\begin{cases} y = 4 - 5x, \\ y = -x + 6. \end{cases}

Угловые коэффициенты прямых различны, значит, система имеет единственное решение.

в)

{12x−3y=5,6y−24x=−10.\begin{cases} 12x - 3y = 5, \\ 6y - 24x = -10. \end{cases}
{3y=12x−5,6y=24x−10;\begin{cases} 3y = 12x - 5, \\ 6y = 24x - 10; \end{cases}
{y=4x−123,y=4x−123.\begin{cases} y = 4x - 1\frac{2}{3}, \\ y = 4x - 1\frac{2}{3}. \end{cases}

Уравнения совпадают, значит, система имеет бесконечно много решений.

Подробное решение

📚 Теория: Определение количества решений

При сравнении двух линейных функций y=k1x+b1y = k_1x + b_1 и y=k2x+b2y = k_2x + b_2:
1. Если k1≠k2k_1 \neq k_2, прямые пересекаются — единственное решение.
2. Если k1=k2,b1≠b2k_1 = k_2, b_1 \neq b_2, прямые параллельны — решений нет.
3. Если k1=k2,b1=b2k_1 = k_2, b_1 = b_2, прямые совпадают — бесконечно много решений.

Как анализировать количество решений?

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно привести каждое уравнение системы к стандартному виду y=kx+by = kx + b, где kk — угловой коэффициент.

  • Пункт а: В первом уравнении k=1/6≈0,16k = 1/6 \approx 0,16, во втором k=0,2k = 0,2. Так как наклоны прямых разные, они пересекутся в одной точке.
  • Пункт б: У первой прямой наклон −5-5, у второй −1-1. Разные коэффициенты гарантируют единственную точку пересечения.
  • Пункт в: После приведения к виду y=4x−1,66...y = 4x - 1,66... мы видим, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что любая точка этой прямой является решением системы.

💡 Соседние задачи

← Вернуться к содержанию
Загрузка комментариев...