Решите систему уравнений:
а) {2x+11y=15,10x−11y=9; б) {8x−17y=4,−8x+15y=4; в) {4x−7y=30,4x−5y=90; г) {13x−8y=28,11x−8y=24. Краткое решение
а)
{2x+11y=15,10x−11y=9; {12x=24,10x−11y=9; {x=1224,10x−11y=9; {x=2,11y=10x−9; {x=2,y=1110⋅2−9; {x=2,y=1120−9; {x=2,y=1111; {x=2,y=1. Ответ: (2; 1).
б)
{8x−17y=4,−8x+15y=4; {−2y=8,8x−17y=4; {y=−28,8x−17y=4; {y=−4,8x=4+17y; {y=−4,8x=4+17⋅(−4); {y=−4,8x=4−68; {y=−4,8x=−64; {x=−8,y=−4. Ответ: (-8; -4).
в)
{4x−7y=30,4x−5y=90;/×(−1) {4x−7y=30,−4x+5y=−90; {−2y=−60,4x−7y=30; {y=30,4x=30+7y; {y=30,4x=30+7⋅30; {y=30,4x=30+210; {y=30,4x=240; {x=60,y=30. Ответ: (60; 30).
г)
{13x−8y=28,11x−8y=24;/×(−1) {13x−8y=28,−11x+8y=−24; {2x=4,11x−8y=24; {x=2,8y=11x−24; {x=2,8y=11⋅2−24; {x=2,8y=22−24; {x=2,8y=−2; {x=2,y=−0,25. Ответ: (2; -0,25).
Подробное решение
Развернутое объяснение метода сложения
Метод сложения — это способ решения, при котором мы складываем два уравнения системы так, чтобы одна из переменных (буква x или y) исчезла. Чтобы буква исчезла, числа перед ней должны быть противоположными (например, 5 и −5).
Пункт а) Убираем переменную y
В первой системе мы видим числа +11 и −11 перед буквой y.
- Шаг 1. Сложение: Складываем иксы: 2x+10x=12x. Складываем игреки: 11y−11y=0. Складываем числа после знака равно: 15+9=24.
- Шаг 2. Нахождение x: Получаем уравнение 12x=24. Разделим 24 на 12 и получим x=2.
- Шаг 3. Нахождение y: Берем x=2 и подставляем в любое из исходных уравнений, например в первое: 2⋅2+11y=15. Получаем 4+11y=15⟹11y=11⟹y=1.
Пункт б) Убираем переменную x
Здесь перед x стоят числа 8 и −8.
- Шаг 1. Сложение: Складываем игреки: −17y+15y=−2y. Складываем числа: 4+4=8.
- Шаг 2. Нахождение y: Из уравнения −2y=8 находим, что y=−4.
- Шаг 3. Нахождение x: Подставим −4 вместо y: 8x−17⋅(−4)=4⟹8x+68=4. Тогда 8x=−64, откуда x=−8.
Пункт в) Что делать, если числа одинаковые?
В пункте «в» перед x стоят числа 4 и 4. Если их сложить, получится 8x, и буква не исчезнет.
- Хитрость: Мы умножаем всё второе уравнение на −1. Теперь вместо 4x−5y=90 у нас −4x+5y=−90.
- Сложение: Теперь у нас есть 4x и −4x. Складываем их (будет 0) и остальные части: −7y+5y=−2y, а 30−90=−60.
- Итог: −2y=−60, значит y=30. После подстановки находим x=60.
Пункт г) Аналогичный случай
Перед y стоят числа −8 и −8. Чтобы они сократились, одно из них должно стать положительным.
- Действие: Снова умножаем второе уравнение на −1. Получаем −11x+8y=−24.
- Сложение: Складываем с первым уравнением: 13x−11x=2x и 28−24=4.
- Результат: 2x=4, значит x=2. Подставляем в любое уравнение и находим y=−0,25.
