Номер 1098 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Решите систему уравнений:

\text{а) } \begin{cases} 2x + 11y = 15, \\ 10x - 11y = 9; \end{cases}

\text{б) } \begin{cases} 8x - 17y = 4, \\ -8x + 15y = 4; \end{cases}

\text{в) } \begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ 4x - 5y = 90; \end{cases}

\text{г) } \begin{cases} 13x - 8y = 28, \\ 11x - 8y = 24. \end{cases}

Краткое решение

а)

\begin{cases} 2x + 11y = 15, \\ 10x - 11y = 9; \end{cases}

\begin{cases} 12x = 24, \\ 10x - 11y = 9; \end{cases}

\begin{cases} x = \frac{24}{12}, \\ 10x - 11y = 9; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ 11y = 10x - 9; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ y = \frac{10 \cdot 2 - 9}{11}; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ y = \frac{20 - 9}{11}; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ y = \frac{11}{11}; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ y = 1. \end{cases}

Ответ: (2; 1).

б)

\begin{cases} 8x - 17y = 4, \\ -8x + 15y = 4; \end{cases}

\begin{cases} -2y = 8, \\ 8x - 17y = 4; \end{cases}

\begin{cases} y = \frac{8}{-2}, \\ 8x - 17y = 4; \end{cases}

\begin{cases} y = -4, \\ 8x = 4 + 17y; \end{cases}

\begin{cases} y = -4, \\ 8x = 4 + 17 \cdot (-4); \end{cases}

\begin{cases} y = -4, \\ 8x = 4 - 68; \end{cases}

\begin{cases} y = -4, \\ 8x = -64; \end{cases}

\begin{cases} x = -8, \\ y = -4. \end{cases}

Ответ: (-8; -4).

в)

\begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ 4x - 5y = 90; \quad / \times (-1) \end{cases}

\begin{cases} 4x - 7y = 30, \\ -4x + 5y = -90; \end{cases}

\begin{cases} -2y = -60, \\ 4x - 7y = 30; \end{cases}

\begin{cases} y = 30, \\ 4x = 30 + 7y; \end{cases}

\begin{cases} y = 30, \\ 4x = 30 + 7 \cdot 30; \end{cases}

\begin{cases} y = 30, \\ 4x = 30 + 210; \end{cases}

\begin{cases} y = 30, \\ 4x = 240; \end{cases}

\begin{cases} x = 60, \\ y = 30. \end{cases}

Ответ: (60; 30).

г)

\begin{cases} 13x - 8y = 28, \\ 11x - 8y = 24; \quad / \times (-1) \end{cases}

\begin{cases} 13x - 8y = 28, \\ -11x + 8y = -24; \end{cases}

\begin{cases} 2x = 4, \\ 11x - 8y = 24; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ 8y = 11x - 24; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ 8y = 11 \cdot 2 - 24; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ 8y = 22 - 24; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ 8y = -2; \end{cases}

\begin{cases} x = 2, \\ y = -0,25. \end{cases}

Ответ: (2; -0,25).

Подробное решение

Развернутое объяснение метода сложения

Метод сложения — это способ решения, при котором мы складываем два уравнения системы так, чтобы одна из переменных (буква $x$ или $y$ ) исчезла. Чтобы буква исчезла, числа перед ней должны быть противоположными (например, $5$ и $-5$ ).

Пункт а) Убираем переменную y

В первой системе мы видим числа $+11$ и $-11$ перед буквой $y$ .

Шаг 1. Сложение: Складываем иксы: $2x + 10x = 12x$ . Складываем игреки: $11y - 11y = 0$ . Складываем числа после знака равно: $15 + 9 = 24$ .
Шаг 2. Нахождение x: Получаем уравнение $12x = 24$ . Разделим 24 на 12 и получим $x = 2$ .
Шаг 3. Нахождение y: Берем $x = 2$ и подставляем в любое из исходных уравнений, например в первое: $2 \cdot 2 + 11y = 15$ . Получаем $4 + 11y = 15 \implies 11y = 11 \implies y = 1$ .

Пункт б) Убираем переменную x

Здесь перед $x$ стоят числа $8$ и $-8$ .

Шаг 1. Сложение: Складываем игреки: $-17y + 15y = -2y$ . Складываем числа: $4 + 4 = 8$ .
Шаг 2. Нахождение y: Из уравнения $-2y = 8$ находим, что $y = -4$ .
Шаг 3. Нахождение x: Подставим $-4$ вместо $y$ : $8x - 17 \cdot (-4) = 4 \implies 8x + 68 = 4$ . Тогда $8x = -64$ , откуда $x = -8$ .

Пункт в) Что делать, если числа одинаковые?

В пункте «в» перед $x$ стоят числа $4$ и $4$ . Если их сложить, получится $8x$ , и буква не исчезнет.

Хитрость: Мы умножаем всё второе уравнение на $-1$ . Теперь вместо $4x - 5y = 90$ у нас $-4x + 5y = -90$ .
Сложение: Теперь у нас есть $4x$ и $-4x$ . Складываем их (будет 0) и остальные части: $-7y + 5y = -2y$ , а $30 - 90 = -60$ .
Итог: $-2y = -60$ , значит $y = 30$ . После подстановки находим $x = 60$ .

Пункт г) Аналогичный случай

Перед $y$ стоят числа $-8$ и $-8$ . Чтобы они сократились, одно из них должно стать положительным.

Действие: Снова умножаем второе уравнение на $-1$ . Получаем $-11x + 8y = -24$ .
Сложение: Складываем с первым уравнением: $13x - 11x = 2x$ и $28 - 24 = 4$ .
Результат: $2x = 4$ , значит $x = 2$ . Подставляем в любое уравнение и находим $y = -0,25$ .