📚 Теория: Квадрат суммы и разности
Для решения этих систем мы используем формулы сокращенного умножения:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 Важно: Если перед скобкой стоит знак «минус», при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.
Решим систему уравнений, выполнив последовательные преобразования.
Развернутое решение пункта а)
1. Раскрытие скобок. Применим формулы квадрата разности и суммы:
- (x−1)2=x2−2x+1
- (x+2)2=x2+4x+4
- (y−3)2=y2−6y+9
- (y+2)2=y2+4y+4
2. Подстановка и упрощение. Запишем систему, раскрыв скобки (не забываем менять знаки перед вторыми скобками):
{x2−2x+1−x2−4x−4=9yy2−6y+9−y2−4y−4=5x Заметим, что квадратичные слагаемые x2 и y2 взаимно уничтожаются. Получаем линейную систему:
{−6x−3=9y−10y+5=5x 3. Приведение к стандартному виду. Перенесем переменные влево, числа вправо и разделим уравнения на общие множители:
{−6x−9y=3∣:3−5x−10y=−5∣:5⇒{−2x−3y=1−x−2y=−1 4. Решение методом сложения. Умножим второе уравнение на −2:
{−2x−3y=12x+4y=2 Сложим уравнения почленно: (−2x+2x)+(−3y+4y)=1+2⇒y=3.
Найдем x, подставив y=3 во второе упрощенное уравнение: −x−2(3)=−1⇒−x−6=−1⇒−x=5⇒x=−5.
Развернутое решение пункта б)
1. Преобразование уравнений. Раскроем квадраты аналогично первому пункту:
{(49+14u+u2)−(25+10u+u2)=6v(4−4v+v2)−(36−12v+v2)=4u 2. Упрощение. После раскрытия скобок и приведения подобных:
{4u+24=6v8v−32=4u Перенесем переменные в левую часть:
{4u−6v=−24−4u+8v=32 3. Метод сложения. Сложим два уравнения системы напрямую, так как коэффициенты при u уже противоположны:
(4u−4u)+(−6v+8v)=−24+32⇒2v=8⇒v=4 4. Поиск второй переменной. Подставим v=4 в первое уравнение:
4u−6(4)=−24⇒4u−24=−24⇒4u=0⇒u=0 