📚 Теория: Когда система не имеет решений?
Система двух линейных уравнений с двумя переменными не имеет решений, если:
- Коэффициенты при одноименных переменных пропорциональны, а свободные члены — нет.
- В процессе решения мы приходим к неверному равенству вида 0=k, где k=0.
- Геометрически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, параллельны и не пересекаются.
Для решения данных систем воспользуемся методами алгебраического сложения и упрощения уравнений путем избавления от дробей и десятичных коэффициентов.
Развернутое решение пункта а)
1. Упрощение. Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при x стали одинаковыми:
1,6x⋅5+2y⋅5=0⋅5⇒8x+10y=0 2. Метод сложения (вычитания). Вычтем из второго уравнения первое:
(8x−8x)+(10y−5y)=0−20⇒5y=−20⇒y=−4 3. Поиск x. Подставим y=−4 во второе уравнение:
1,6x+2⋅(−4)=0⇒1,6x−8=0⇒1,6x=8⇒x=5 Развернутое решение пункта б)
1. Избавление от дробей. Умножим первое уравнение на 91 (НОК чисел 7 и 13):
91⋅71x−91⋅131y=91⋅1⇒13x−7y=91 2. Анализ системы. Теперь система выглядит так:
{13x−7y=9113x−7y=5 Левые части уравнений идентичны, но правые части различны (91=5). Это означает, что не существует такой пары (x;y), которая удовлетворяла бы обоим условиям одновременно. Система противоречива и не имеет решений.
Развернутое решение пункта в)
1. Уравнивание коэффициентов. Умножим второе уравнение на 0,6:
3x⋅0,6−4y⋅0,6=5⋅0,6⇒1,8x−2,4y=3 2. Сложение уравнений:
{−1,8x+2,4y=11,8x−2,4y=3⇒(−1,8x+1,8x)+(2,4y−2,4y)=1+3 Равенство 0=4 является ложным, следовательно, система не имеет решений.
Развернутое решение пункта г)
1. Упрощение первого уравнения. Умножим его на 24:
24⋅32x−24⋅81y=24⋅21⇒16x−3y=12 2. Сложение со вторым уравнением:
{16x−3y=12−16x+3y=12⇒(16x−16x)+(−3y+3y)=12+12 Полученное противоречие указывает на отсутствие решений у данной системы.
