Номер 1218 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом, а после умножения на 3 — кубом натурального числа.

Краткое решение

Пусть $n = 2^x 3^y$ — наименьшее натуральное число с указанными свойствами.

Так как $2n = 2^{x+1} 3^y$ должно быть полным квадратом, показатели при всех простых должны быть чётными. Значит:

x + 1 \text{ чётно, } y \text{ чётно.}

Так как $3n = 2^x 3^{y+1}$ должно быть полным кубом, показатели при всех простых должны делиться на 3. Значит:

x \text{ делится на 3, } y + 1 \text{ делится на 3.}

Ищем наименьшие неотрицательные решения для $x$ и $y$ :

Для $x$ : $x + 1$ чётно, значит, $x$ нечётно; и одновременно $x$ кратно 3, тогда минимальное $x = 3$ .
Для $y$ : $y$ чётно и одновременно $y + 1$ кратно 3, тогда минимальное $y = 2$ .

n = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72.

Ответ: 72.

Подробное решение

📚 Теория: Свойства степеней в разложении

Для того чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней его простых множителей должны быть чётными. Для того чтобы число было полным кубом, все показатели должны делиться на 3 без остатка.

Разложим искомое число $n$ на простые множители. Так как при умножении на 2 и 3 мы должны получать степени, логично предположить, что число состоит из двоек и троек: $n = 2^x \cdot 3^y$ .

1. Условие для квадрата

При умножении на 2 получаем $2 \cdot n = 2^{x+1} \cdot 3^y$ . Это число будет квадратом, если показатели $x+1$ и $y$ кратны 2.

2. Условие для куба

При умножении на 3 получаем $3 \cdot n = 2^x \cdot 3^{y+1}$ . Это число будет кубом, если показатели $x$ и $y+1$ кратны 3.

3. Поиск минимальных значений

Нам нужно найти минимальные натуральные $x$ и $y$ :

Переменная $x$ : должна быть нечётной (чтобы $x+1$ делилось на 2) и делиться на 3. Наименьшее такое число — 3.
Переменная $y$ : должна быть чётной и такой, чтобы $y+1$ делилось на 3. Наименьшее чётное число, удовлетворяющее условию — 2 ( $2+1=3$ ).

Вычисление результата:

n = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72

Проверка:

$72 \cdot 2 = 144 = 12^2$ — квадрат.
$72 \cdot 3 = 216 = 6^3$ — куб.

💡 Похожие задачи

Номер 1217