Номер 1224 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Разложите на множители многочлен:

а) $x^{8} + x^{4} - 2;$ б) $a^{5} - a^{2} - a - 1;$ в) $n^{4} + 4;$ г) $n^{4} + n^{2} + 1.$

Краткое решение

а) $x^{8} + x^{4} - 2 =$

= x^{8} + x^{4} - 1 - 1 =

= (x^{8} - 1) + (x^{4} - 1) =

= ((x^{4})^{2} - 1^{2}) + (x^{4} - 1) =

= (x^{4} - 1) (x^{4} + 1) + (x^{4} - 1) =

= (x^{4} - 1) (x^{4} + 1 + 1) =

= ((x^{2})^{2} - 1^{2}) (x^{4} + 2) =

= (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 2) =

= (x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 2) .

б) $a^{5} - a^{2} - a - 1 =$

= (a^{5} - a) - (a^{2} + 1) =

= a (a^{4} - 1) - (a^{2} + 1) =

= a (a^{2} - 1) (a^{2} + 1) - 1 \cdot (a^{2} + 1) =

= (a^{2} + 1) (a (a^{2} - 1) - 1) =

= (a^{2} + 1) (a^{3} - a - 1) .

в) $n^{4} + 4 = n^{4} + 4 n^{2} + 4 - 4 n^{2} =$

= (n^{2} + 2)^{2} - (2 n)^{2} =

= (n^{2} + 2 - 2 n) (n^{2} + 2 + 2 n) .

г) $n^{4} + n^{2} + 1 =$

= n^{4} + n^{2} + 1 + n^{2} - n^{2} =

= n^{4} + 2 n^{2} + 1 - n^{2} =

= (n^{2} + 1)^{2} - n^{2} =

= (n^{2} + 1 - n) (n^{2} + 1 + n) .

Подробное решение

📚 Теория: Основные методы разложения

Для решения задач на разложение многочленов используются:

Метод группировки слагаемых.
Формула разности квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .
Метод дополнения до полного квадрата (искусственный прием добавления и вычитания одного и того же члена).

Разберем подробнее каждый пример, основываясь на методах, примененных в решении.

Пример а)

В выражении $x^{8} + x^{4} - 2$ число $- 2$ раскладывается как $- 1 - 1$ . Это позволяет сгруппировать слагаемые в две разности и применить формулу разности квадратов несколько раз, пока не получим линейные множители там, где это возможно.

Пример б)

Здесь применяется группировка: $a^{5} - a$ и $- (a^{2} + 1)$ . После вынесения общего множителя $a$ из первой группы и разложения $a^{4} - 1$ , появляется общий множитель $(a^{2} + 1)$ , который выносится за скобку.

Примеры в) и г)

В данных примерах используется метод «дополнения до полного квадрата». Мы добавляем слагаемое, необходимое для формулы $(a + b)^{2}$ , и тут же вычитаем его, чтобы сохранить равенство. Это превращает многочлен в разность квадратов.

💡 Похожие задачи

Номер 1223