Номер 1223 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

📚 Теория: Доказательство положительности выражения

Для доказательства того, что выражение всегда принимает положительные значения, его удобно представить в виде суммы квадратов.

Любой квадрат числа неотрицателен ( $a^{2} \geq 0$ ). Если в сумме присутствует хотя бы одно строго положительное слагаемое, то вся сумма будет больше нуля.

Чтобы доказать положительность выражения $15 x^{2} - 18 x y + 15 y^{2}$ , преобразуем его методом выделения полного квадрата.

1. Группировка и разложение слагаемых

Разложим коэффициенты при $x^{2}$ и $y^{2}$ таким образом, чтобы выделить часть для формулы полного квадрата с удвоенным произведением $18 x y$ :

15 x^{2} - 18 x y + 15 y^{2} = (9 x^{2} - 18 x y + 9 y^{2}) + 6 x^{2} + 6 y^{2}

2. Выделение квадрата разности

Заметим, что выражение в скобках является квадратом разности одночленов $3 x$ и $3 y$ :

9 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 6 x^{2} + 6 y^{2} = (3 x - 3 y)^{2} + 6 x^{2} + 6 y^{2}

3. Анализ полученной суммы

Квадрат $(3 x - 3 y)^{2}$ всегда неотрицателен ( $\geq 0$ ).
Выражения $6 x^{2}$ и $6 y^{2}$ также всегда неотрицательны.
По условию $x \neq = 0$ или $y \neq = 0$ , значит, хотя бы одно из слагаемых $6 x^{2}$ или $6 y^{2}$ строго больше нуля.

Следовательно, сумма неотрицательного и хотя бы одного положительного числа всегда положительна. Доказано.

💡 Похожие задачи

Номер 1222

Номер 1223 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Краткое решение

Подробное решение

📚 Теория: Доказательство положительности выражения

1. Группировка и разложение слагаемых

2. Выделение квадрата разности

3. Анализ полученной суммы

💡 Похожие задачи

🕒 Вы недавно смотрели