Номер 1226 — ГДЗ Алгебра 7 класс Макарычев

Докажите, что разность между кубами двух последовательных натуральных чисел при делении на 6 даёт остаток 1.

Краткое решение

Пусть $n$ и $n + 1$ — два последовательных натуральных числа.

(n + 1)^{3} - n^{3} =

= (n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1) - n^{3} =

= 3 n^{2} + 3 n + 1 = 3 n (n + 1) + 1

$n$ и $n + 1$ — два последовательных натуральных числа, поэтому одно из них чётное. Тогда произведение $n (n + 1)$ чётно, значит, $3 n (n + 1)$ кратно 6.

Тогда остаток при делении $3 n (n + 1) + 1 = (n + 1)^{3} - n^{3}$ на 6 равен 1.

Что и требовалось доказать.

Подробное решение

📚 Теория: Куб суммы и делимость

Формула куба суммы двух выражений:

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Произведение двух последовательных натуральных чисел $n (n + 1)$ всегда является чётным числом.

Рассмотрим два последовательных натуральных числа $n$ и $n + 1$ .

1. Составление выражения разности кубов

Запишем разность куба большего и куба меньшего числа:

(n + 1)^{3} - n^{3}

2. Преобразование выражения

Используем формулу куба суммы для раскрытия скобок:

n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 - n^{3} = 3 n^{2} + 3 n + 1

Вынесем общий множитель $3 n$ за скобки для первых двух слагаемых:

3 n (n + 1) + 1

3. Анализ делимости

В выражении $3 n (n + 1) + 1$ слагаемое $n (n + 1)$ является произведением двух последовательных натуральных чисел, поэтому одно из них обязательно чётное. Значит, $n (n + 1)$ делится на 2.

Следовательно, произведение $3 \cdot n (n + 1)$ делится на $3 \cdot 2 = 6$ .

4. Нахождение остатка

Так как число $3 n (n + 1)$ кратно 6, его можно представить как $6 k$ , где $k$ — натуральное число. Тогда всё выражение имеет вид $6 k + 1$ . Число 1 и является остатком от деления на 6. Утверждение доказано.

💡 Похожие задачи

Номер 1225